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浙江省A9协作体2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知空间直角坐标系中两点，则（　　）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
3．圆的圆心坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．椭圆的焦距等于（　　）
A． B．4 C． D．
5．已知四面体中，点分别为棱的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
6．已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知直线和直线互相垂直，则的最小值为（　　）
A．-1 B． C． D．1
8．已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若的重心在直线上，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．正方体中，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知圆，点，直线，则下列说法正确的是（　　）
A．若点的坐标为，则直线被圆截得的弦长等于
B．若直线被圆截得的弦长等于，则为定值
C．若直线与圆相交，则点在圆内
D．若点在圆上，直线与圆相切
11．已知椭圆的左右焦点为为椭圆上的点（不在轴上），的角平分线交轴于点的面积最大值为4，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．过点且斜率为3的直线方程为　 　.
13．点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为　 　.
14．在正四棱锥中，为棱上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
16．在中，已知点，点在直线上.
（1）若点的坐标为，求边上的高线所在的直线方程；
（2）求周长的最小值.
17．已知圆过点，直线的方程为.
（1）求圆的方程；
（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及最短弦长.
18．如图，正四棱台中，，点为棱的中点，点在棱上，且.
（1）当时，求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）当时，求平面与平面的夹角的余弦值.
19．已知点为椭圆的左焦点，长轴长为为椭圆上的点，当垂直轴时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线，点到直线的距离为，使得为定值；若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
（3）为椭圆的下顶点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，求证：的面积小于.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：点，则.
故答案为：B.
【分析】由点的坐标，根据向量的坐标运算直接写答案即可.
2．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，，
易知直线的斜率，则，即，
故直线的倾斜角是.
故答案为：A.
【分析】设直线的倾斜角为，易知直线的斜率，根据直线的斜率和倾斜角的关系求解即可.
3．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：易知圆的圆心坐标为.
故答案为：A.
【分析】根据圆的标准方程，直接写圆心坐标即可.
4．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：化椭圆为标准方程，易知，
，，则焦距.
故答案为：C.
【分析】先化椭圆方程为标准式，求得基本量，即可得焦距.
5．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
因为为的中点，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】连接，由为的中点，可得，根据空间向量线性运算法则求解即可.
6．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，
圆的圆心，
，
当圆和圆至少有3条公切线时，两圆相外切或相离，
当两圆相外切时，，则，
当两圆相离时，，则，
综上，解得，又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】先分别求圆心和半径，再利用两点间距离公式求圆心距，由题意可得两圆相外切或相离，满足，据此求的取值范围即可.
7．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为直线和直线互相垂直，
所以，化简得，即，
则，
当时，的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据直线垂直的判定可得，即，代入，结合二次函数的性质求最值即可.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线方程为，，
由的重心在直线上，得，则，
，解得，
由消去得，
于是，整理得，所以椭圆的离心率.
故答案为：D.
【分析】设直线方程为，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形重心位置综合求椭圆的离心率即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体棱长为，顶点坐标如下：
，；
A、，故A错误；
B、，，平行，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，利用空间向量法逐项求解判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、点的坐标为，直线，
易知圆的圆心为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长等于，故A正确；
B、圆心到直线的距离为：，
若直线被圆截得的弦长等于，
解得，故B正确；
C、若直线与圆相交，圆心到直线的距离为：
，即，所以点在圆外，故C错误；
D、若点在圆上，则，
圆心到直线的距离为：，
此时直线与圆相切，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知圆心和半径，将点代入直线求得直线方程，再由点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式求解即可判断A；利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式求出即可判断B；若直线与圆相交可知由此即可判断C；利用点在圆上并根据圆心到直线的距离等于半径即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆，可得，
当点P为椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值，
根据三角形面积公式，解得，
又因为在椭圆中有，因为，所以，故A正确；
因为PM是的角平分线，根据角平分线性质可得，
所以，故C正确；
由选项A可知，，则，
因为P为椭圆上的点（不在轴上），所以设，其中 ，
所以，得到，
设 ，则，，椭圆离心率为，
根据焦半径得 ；，
因为，
所以，得，
；
当时有最大值2，故B项错误；
因为，所以，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由椭圆方程可得，利用端点是焦点三角形面积最大，结合三角形的面积为4求得即可判断A；利用角平分线性质即可判断C；利用焦半径公式和两点距离公式并结合二次函数性质即可判断B；求出P的横坐标取值范围即可判断D.
12．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：过点且斜率为的直线方程为，即.
故答案为：.
【分析】直接利用点斜式求直线方程即可.
13．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，
过点作圆的切线，切点为，所以，
所以，
要求的最小值，即求的最小值，
的最小值即为到直线的距离，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】易知圆心和半径，过点作圆的切线，切点为，由题意可得，，要求的最小值，即求的最小值，的最小值即为到直线的距离，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理求解即可.
14．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为为棱上一点，且，
则，
又因为，，
所以，
，
因为是正方形，所以，所以，
设异面直线和所成角为，
所以.
故答案为：.
【分析】根据空间向量的数量积，结合向量的夹角公式求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，所以，则；
（2）解：
因为，所以，解得或.
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）将代入，求得的坐标，再根据空间向量的坐标运算求解即可；
（2）根据空间向量的坐标运算求得，再根据空间向量数量积的坐标表示列不等式求解即可.
（1）因为，所以，
得
（2）因为，所以.
解得：或.
16．【答案】（1）解：直线的斜率为
所以边上的高线的斜率为，
得边上的高所在的直线方程为，即
（2）解：因为，所以，
的周长，
设点关于直线的对称点为，则解得，
则点关于直线的对称点为，
，
当且仅当三点共线时取等号，
故的周长的最小值为.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）利用斜率公式求直线的斜率，根据垂直关系求边上的高线的斜率，最后利用点斜式求高线所在的直线方程即可；
（2）利用两点间距离公式求，再表示的周长，设点关于直线的对称点为，利用点关于直线对称求点关于直线的对称点为，再由，结合两点间的距离公式求的最小值即可.
（1）直线的斜率为
所以边上的高线的斜率为，
得边上的高所在的直线方程为，即
（2）因为，所以
的周长
设点关于直线的对称点为，则
解得，所以点关于直线的对称点为，
，
当且仅当三点共线时取等号.
的周长的最小值为.
17．【答案】（1）解：设圆的方程为，
由题意可知，解得：，满足，
则圆的方程为；
（2）解：直线的方程为，即，
所以直线过点，即直线过定点
圆的圆心为，又因为，即点在圆内，
所以当时，直线被圆截得的弦长最短，
此时直线的斜率为1，所以直线的斜率为-1，，解得：
直线的方程为，，
则直线被圆截得的最短弦长为.
【知识点】恒过定点的直线；圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆的方程为，利用待定系数法求解即可；
（2）化直线方程求得直线过定点，根据点和圆的位置关系判断点在圆内，当时，直线被圆截得的弦长最短，据此求出，再利用弦长公式求出最短弦长即可.
（1）设圆的方程为，
由题意可知
解得：满足，
所以圆的方程为；
（2）直线的方程为，即.
所以直线过点，即直线过定点
圆的圆心为，又因为，即点在圆内，
所以当时，直线被圆截得的弦长最短，
此时直线的斜率为1，所以直线的斜率为-1，，解得：
直线的方程为，
，
所以直线被圆截得的最短弦长为.
18．【答案】（1）证明：当时，点为的中点，
在等腰梯形中，点为的中点，
所以，又因为，所以；
（2）解：以为坐标原点，为轴，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
设平面的一个法向量是，
，所以，
得，令，所以，得，
又因为，所以点到平面的距离为
（3）解：当时，
设平面的一个法向量是，
，所以，
得，令，所以，得
所以平面与平面的夹角的余弦值为：
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）当时，点为的中点，易证，再根据，可得；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离即可；
（3）由（2）的空间直角坐标系，当时，求出平面与平面的一个法向量，再利用向量法求二面角的余弦值.
（1）证明：当时，点为的中点，
在等腰梯形中，点为的中点，
所以，又因为，所以；
（2）以为坐标原点，为轴，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
设平面的一个法向量是，
，所以，
得，令，所以，得，
又因为，
所以点到平面的距离为
（3）当时，
设平面的一个法向量是，
，所以，
得，令，所以，得
所以平面与平面的夹角的余弦值为：
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
19．【答案】（1）解：因为，得；又，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）解：设的坐标为，所以，
因为，所以，
又点到直线的距离
所以，
又因为为定值，所以，解得，
所以存在直线，使得；
（3）证明：设直线的方程为，
直线与椭圆联立可得：，
所以，得，
由韦达定理可：.
所以
点到直线的距离为，
所以的面积
①当时，在时取最大值，
所以
②当时，在时取最大值，
即.
设，
所以
【知识点】函数的最大（小）值；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的长轴长以及求得a，，即可得椭圆的方程；
（2）设的坐标为，利用两点间距离公式以及点到直线的距离公式，结合为定值可得，进而求得即可得直线的方程；
（3）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用判别式和韦达定理得到，，再利用弦长公式、以及点到直线的距离公式求得及，表示的面积，再分和进行证明即可.
（1）因为，得；又，所以，
所以椭圆的方程为
（2）设的坐标为，所以，
因为，所以，
又点到直线的距离
所以
又因为为定值，所以，解得，
所以存在直线，使得.
（3）设直线的方程为，
直线与椭圆联立可得：，
所以，得，
由韦达定理可：.
所以
点到直线的距离为，
所以的面积
①当时，在时取最大值，
所以
②当时，在时取最大值，
即.
设，
所以
1 / 1浙江省A9协作体2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知空间直角坐标系中两点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：点，则.
故答案为：B.
【分析】由点的坐标，根据向量的坐标运算直接写答案即可.
2．直线的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，，
易知直线的斜率，则，即，
故直线的倾斜角是.
故答案为：A.
【分析】设直线的倾斜角为，易知直线的斜率，根据直线的斜率和倾斜角的关系求解即可.
3．圆的圆心坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：易知圆的圆心坐标为.
故答案为：A.
【分析】根据圆的标准方程，直接写圆心坐标即可.
4．椭圆的焦距等于（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：化椭圆为标准方程，易知，
，，则焦距.
故答案为：C.
【分析】先化椭圆方程为标准式，求得基本量，即可得焦距.
5．已知四面体中，点分别为棱的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
因为为的中点，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】连接，由为的中点，可得，根据空间向量线性运算法则求解即可.
6．已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，
圆的圆心，
，
当圆和圆至少有3条公切线时，两圆相外切或相离，
当两圆相外切时，，则，
当两圆相离时，，则，
综上，解得，又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】先分别求圆心和半径，再利用两点间距离公式求圆心距，由题意可得两圆相外切或相离，满足，据此求的取值范围即可.
7．已知直线和直线互相垂直，则的最小值为（　　）
A．-1 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为直线和直线互相垂直，
所以，化简得，即，
则，
当时，的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据直线垂直的判定可得，即，代入，结合二次函数的性质求最值即可.
8．已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若的重心在直线上，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线方程为，，
由的重心在直线上，得，则，
，解得，
由消去得，
于是，整理得，所以椭圆的离心率.
故答案为：D.
【分析】设直线方程为，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形重心位置综合求椭圆的离心率即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．正方体中，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体棱长为，顶点坐标如下：
，；
A、，故A错误；
B、，，平行，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，利用空间向量法逐项求解判断即可.
10．已知圆，点，直线，则下列说法正确的是（　　）
A．若点的坐标为，则直线被圆截得的弦长等于
B．若直线被圆截得的弦长等于，则为定值
C．若直线与圆相交，则点在圆内
D．若点在圆上，直线与圆相切
【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、点的坐标为，直线，
易知圆的圆心为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长等于，故A正确；
B、圆心到直线的距离为：，
若直线被圆截得的弦长等于，
解得，故B正确；
C、若直线与圆相交，圆心到直线的距离为：
，即，所以点在圆外，故C错误；
D、若点在圆上，则，
圆心到直线的距离为：，
此时直线与圆相切，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知圆心和半径，将点代入直线求得直线方程，再由点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式求解即可判断A；利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式求出即可判断B；若直线与圆相交可知由此即可判断C；利用点在圆上并根据圆心到直线的距离等于半径即可判断D.
11．已知椭圆的左右焦点为为椭圆上的点（不在轴上），的角平分线交轴于点的面积最大值为4，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆，可得，
当点P为椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值，
根据三角形面积公式，解得，
又因为在椭圆中有，因为，所以，故A正确；
因为PM是的角平分线，根据角平分线性质可得，
所以，故C正确；
由选项A可知，，则，
因为P为椭圆上的点（不在轴上），所以设，其中 ，
所以，得到，
设 ，则，，椭圆离心率为，
根据焦半径得 ；，
因为，
所以，得，
；
当时有最大值2，故B项错误；
因为，所以，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由椭圆方程可得，利用端点是焦点三角形面积最大，结合三角形的面积为4求得即可判断A；利用角平分线性质即可判断C；利用焦半径公式和两点距离公式并结合二次函数性质即可判断B；求出P的横坐标取值范围即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．过点且斜率为3的直线方程为　 　.
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：过点且斜率为的直线方程为，即.
故答案为：.
【分析】直接利用点斜式求直线方程即可.
13．点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，
过点作圆的切线，切点为，所以，
所以，
要求的最小值，即求的最小值，
的最小值即为到直线的距离，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】易知圆心和半径，过点作圆的切线，切点为，由题意可得，，要求的最小值，即求的最小值，的最小值即为到直线的距离，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理求解即可.
14．在正四棱锥中，为棱上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为　 　.
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为为棱上一点，且，
则，
又因为，，
所以，
，
因为是正方形，所以，所以，
设异面直线和所成角为，
所以.
故答案为：.
【分析】根据空间向量的数量积，结合向量的夹角公式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，则；
（2）解：
因为，所以，解得或.
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）将代入，求得的坐标，再根据空间向量的坐标运算求解即可；
（2）根据空间向量的坐标运算求得，再根据空间向量数量积的坐标表示列不等式求解即可.
（1）因为，所以，
得
（2）因为，所以.
解得：或.
16．在中，已知点，点在直线上.
（1）若点的坐标为，求边上的高线所在的直线方程；
（2）求周长的最小值.
【答案】（1）解：直线的斜率为
所以边上的高线的斜率为，
得边上的高所在的直线方程为，即
（2）解：因为，所以，
的周长，
设点关于直线的对称点为，则解得，
则点关于直线的对称点为，
，
当且仅当三点共线时取等号，
故的周长的最小值为.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）利用斜率公式求直线的斜率，根据垂直关系求边上的高线的斜率，最后利用点斜式求高线所在的直线方程即可；
（2）利用两点间距离公式求，再表示的周长，设点关于直线的对称点为，利用点关于直线对称求点关于直线的对称点为，再由，结合两点间的距离公式求的最小值即可.
（1）直线的斜率为
所以边上的高线的斜率为，
得边上的高所在的直线方程为，即
（2）因为，所以
的周长
设点关于直线的对称点为，则
解得，所以点关于直线的对称点为，
，
当且仅当三点共线时取等号.
的周长的最小值为.
17．已知圆过点，直线的方程为.
（1）求圆的方程；
（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及最短弦长.
【答案】（1）解：设圆的方程为，
由题意可知，解得：，满足，
则圆的方程为；
（2）解：直线的方程为，即，
所以直线过点，即直线过定点
圆的圆心为，又因为，即点在圆内，
所以当时，直线被圆截得的弦长最短，
此时直线的斜率为1，所以直线的斜率为-1，，解得：
直线的方程为，，
则直线被圆截得的最短弦长为.
【知识点】恒过定点的直线；圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆的方程为，利用待定系数法求解即可；
（2）化直线方程求得直线过定点，根据点和圆的位置关系判断点在圆内，当时，直线被圆截得的弦长最短，据此求出，再利用弦长公式求出最短弦长即可.
（1）设圆的方程为，
由题意可知
解得：满足，
所以圆的方程为；
（2）直线的方程为，即.
所以直线过点，即直线过定点
圆的圆心为，又因为，即点在圆内，
所以当时，直线被圆截得的弦长最短，
此时直线的斜率为1，所以直线的斜率为-1，，解得：
直线的方程为，
，
所以直线被圆截得的最短弦长为.
18．如图，正四棱台中，，点为棱的中点，点在棱上，且.
（1）当时，求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）当时，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：当时，点为的中点，
在等腰梯形中，点为的中点，
所以，又因为，所以；
（2）解：以为坐标原点，为轴，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
设平面的一个法向量是，
，所以，
得，令，所以，得，
又因为，所以点到平面的距离为
（3）解：当时，
设平面的一个法向量是，
，所以，
得，令，所以，得
所以平面与平面的夹角的余弦值为：
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）当时，点为的中点，易证，再根据，可得；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离即可；
（3）由（2）的空间直角坐标系，当时，求出平面与平面的一个法向量，再利用向量法求二面角的余弦值.
（1）证明：当时，点为的中点，
在等腰梯形中，点为的中点，
所以，又因为，所以；
（2）以为坐标原点，为轴，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
设平面的一个法向量是，
，所以，
得，令，所以，得，
又因为，
所以点到平面的距离为
（3）当时，
设平面的一个法向量是，
，所以，
得，令，所以，得
所以平面与平面的夹角的余弦值为：
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
19．已知点为椭圆的左焦点，长轴长为为椭圆上的点，当垂直轴时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线，点到直线的距离为，使得为定值；若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
（3）为椭圆的下顶点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，求证：的面积小于.
【答案】（1）解：因为，得；又，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）解：设的坐标为，所以，
因为，所以，
又点到直线的距离
所以，
又因为为定值，所以，解得，
所以存在直线，使得；
（3）证明：设直线的方程为，
直线与椭圆联立可得：，
所以，得，
由韦达定理可：.
所以
点到直线的距离为，
所以的面积
①当时，在时取最大值，
所以
②当时，在时取最大值，
即.
设，
所以
【知识点】函数的最大（小）值；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的长轴长以及求得a，，即可得椭圆的方程；
（2）设的坐标为，利用两点间距离公式以及点到直线的距离公式，结合为定值可得，进而求得即可得直线的方程；
（3）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用判别式和韦达定理得到，，再利用弦长公式、以及点到直线的距离公式求得及，表示的面积，再分和进行证明即可.
（1）因为，得；又，所以，
所以椭圆的方程为
（2）设的坐标为，所以，
因为，所以，
又点到直线的距离
所以
又因为为定值，所以，解得，
所以存在直线，使得.
（3）设直线的方程为，
直线与椭圆联立可得：，
所以，得，
由韦达定理可：.
所以
点到直线的距离为，
所以的面积
①当时，在时取最大值，
所以
②当时，在时取最大值，
即.
设，
所以
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