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贵州省安顺市2025-2026学年上学期阶段性质量检测八年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C．文心一言 D．纳米
2．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．如图，在中，边上的高为（　　）
A． B． C． D．
4．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
5．下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．
（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求．
上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
7．将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（　　）处截断．
A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④
8．若点与点关于轴对称，则（　　）
A． B．0 C．1 D．
9．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（　　）
A． B． C． D．
10．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
12．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是　 　．
14．将一副三角板按如图所示的方式放置，则图中的度数为　 　．
15．如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，．若，，则的长为　 　．
16．如图，在等腰中，，，于点，是延长线上的一点，是线段上的一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形．其中正确的是　 　．（填序号）
三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，在平面直角坐标系中，点，，．
（1）在图中画出边上的中线，并写出点的坐标．
（2）在图中画出边上的高，并写出点的坐标．
（3）在图中画出线段关于轴对称的图形．
18．如图，在中，，于点，平分，交于点．
（1）当，时，求的度数．
（2）猜想与，之间的关系，并说明理由．
19．如图，点，，，在同一条直线上，，，，与交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
20．如图，是等腰三角形，，，是的中点．
（1）求的度数．
（2）求的度数．
（3）若，试说明：．
21．已知，，是的三边．
（1）化简．
（2）若和满足方程组且为奇数，求这个三角形的周长．
22．如图，在中，为边上的一点，平分，于点，于点．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点（只保留作图痕迹，不写作法和结论）．
（2）在（1）的条件下，求证：．请补全下面的证明过程．
证明：平分，，，
① （ ② ），
．
是的垂直平分线，
，，．
在和中，
，
③ ，
（ ④ ）．
∵，，
．
在和中，
，
．
23．【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在中，，，以为斜边作直角三角形，点，在边的同侧，与交于点，连接，过点作于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）．
【解决问题】
（1）如图2，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路，写出证明的完整过程．
【实践应用】
（2）的度数为________．
（3）若是的中点，且，求四边形的面积．
24．阅读与思考
数学课上，老师提出了如下问题，巧用中线构造全等数学问题
×年×月×日 星期日 晴 巧用中线构造全等数学问题 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，求边的取值范围． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 是边上的中线，． 在和中， ，，． ，． …… 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化．
任务：
（1）小亮判断的依据是________．
（2）如图3，在中，是边上的中线，，，若的长为奇数．请你根据小亮的思路求出边的长．
迁移应用：
（3）如图4，是的中线，在边上取一点，连接，交于点，若，，，求的度数．
25．引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”．
【理解概念】
　
（1）如图1，在中，，，垂足为，请判断与是否为“等角三角形”，并说明理由．
（2）如图2，在中，为角平分线，，，请说明是的“巧等线”．
【应用概念】
（3）在中，若，为的“巧等线”，请直接写出所有可能的的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选C
【分析】根据钝角三角形的定义即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形的高的定义，可得边上的高为 AF.
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据角平分线的作法可知，，．
又∵，
∴．
∴，即射线即为的角平分线．
故选A．
【分析】由题意可得，，根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意；
B：添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故B符合题意；
C：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意；
D：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据三角形全等的判定，逐项进行判断，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形，
∴第二次可以在②处截断；
当当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形，
∴第二次可以在③处截断；
综上， 第二次可以在②或③处截断，
故选：C．
【分析】将已经截断下来的4厘米为等腰三角形的腰和底讨论，分别算出其他边的长度，再利用三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判定即可．
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据点关于x轴对称的坐标规律：横坐标相等，纵坐标互为相反数。可得出m=4，n=-3，再直接代入m+n求代数式的值即可.
9．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作，交延长线于点，
∵，
∴，
∵在中，的长是，
∴，
∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线，
∴，
∴乘电梯从点到点上升的高度是，
故答案为：A．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质。过点C作CM⊥AB延长线于点M，由∠ABC=150°得∠CBM=30°，再根据含30度角的直角三角形性质可得CM=12BC=5m，即上升高度h=5m.
10．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，与地面垂直，
∴与地面平行，
∵处距地面，
∴处距地面，
∴点距地面，
同理可得：与地面平行，
∴点到地面的高度等于点到地面的高度，
∴爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B．
【分析】根据三角形全等的判定与性质及平行线间距离。由AAS证明△OBD≌△COE，由全等性质得OE=BD=1.3m，OD=CE=1.5m，进而求得DE=0.2m，最后计算点E到地面的高度即可.
11．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：如图：当时，是等腰三角形；
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当时，是等腰三角形；
当，，当时，都是等腰三角形；
综上，符合条件的点D的个数有6个．
故选：B．
【分析】根据等腰三角形判定定理分类讨论即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①过作交于，交于，
，
点D是的平分线上的一个定点，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
是等边三角形；
故此项正确；
②由①得，
，
，
点D是的平分线上的一个定点，
是定值，
四边形的面积是一个定值；
故此项正确；
③如图，
当时，
的值最小，
是等边三角形，
的周长为，
的周长最小；
故此项正确；
④如图，
，
，
故此项正确；
故选：D．
【分析】①过作交于，交于，由平行线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，进而即可判断；②由全等三角形的性质得，点D是的平分线上的一个定点得是定值即可判断；③由垂线段最短得当时，的值最小即可判断；④由平行线的性质即可判断.
13．【答案】（4）
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有（4）符合．
故答案为：（4）．
【分析】
由于翻折实质是轴对称，即两圆孔关于折痕对称，故正确答案为（4）．
14．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角板可知，，，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意可得出，，再根据三角形的外角性质求解即可．
15．【答案】9
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
【分析】首先由AAS证明△ACE≌△BAD，进而即可得出AE=BD=6cm，CE=AD，再根据线段和差求解即可.
16．【答案】③
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：连接，与交于点，如图所示：
∵，，，
∴，
∴垂直平分线段，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故①错误；
由题意不能得到，所以不一定相等，故②错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故③正确；
故答案为：③．
【分析】连接OB，设OP与AC交于点E。结合题意可推得BD=CD，， ，进而逐项进行推理分析，即可得出 ① ② 错误 ， ③正确 ，即可得出答案。
17．【答案】（1）解：如图，中线即为所求．
∵，，
∴的中点的坐标为，即为．
（2）解：如图，高即为所求．
∵点，，，
∴点的横坐标与点的横坐标相同、点的纵坐标与点的纵坐标相同，
∴点的坐标为．
（3）解：如图，即为所求．
．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）借助网格结构确定出线段的中点，连接即可得到所求中线，再利用中点坐标公式就能计算得到点的坐标；
（2）结合网格特点画出边上的高线，之后直接写出点的坐标即可；
（3）根据轴对称的性质，先找出点关于轴对称的对应点，再顺次连接各对应点即可得到所求三角形．
（1）解：如图，中线即为所求．
∵，，
∴的中点的坐标为，即为．
（2）解：如图，高即为所求．
∵点，，，
∴点的横坐标与点的横坐标相同、点的纵坐标与点的纵坐标相同，
∴点的坐标为．
（3）解：如图，即为所求．
．
18．【答案】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

（2）解：，理由如下：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的定义，得到的度数；进而结合三角形外角的性质可推出；最后利用高的定义及三角形内角和定理，即可得出的度数。
（2）先根据角平分线的定义得到；再结合三角形外角的性质，可得出；最后根据三角形内角和定理整理计算，即可得到结论∠DAE。
（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∴．
（2）解：由（1）已证：，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由即可证得；
（2）由（1）知，可得出，进而根据三角形的内角和定理可得出，然后根据两直线平行，同位角相等即可得出∠EGC=∠D=58°．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∴．
（2）解：由（1）已证：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1）解：∵，∴，
∵，，
∴．
（2）解：∵，是的中点，
∴平分，
∵，
∴．
（3）解：∵，是的中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可求得；
（2）根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义求解即可求得；
（3）根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义可得，然后根据等腰三角形的性质可得，则可得，最后根据平行线的判定即可求得．
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：∵，是的中点，
∴平分，
∵，
∴．
（3）解：∵，是的中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：∵a，b，c是的三边，
∴，
∴
，
.
（2）解：解方程组，得，根据三角形的三边关系得，即，
∵c为奇数，
∴，
∴这个三角形的周长为．
【知识点】三角形三边关系；加减消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）首先根据三角形的三边关系得到：，进而根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后合并同类项即可；
（2）首先解方程组可得出，进而根据三角形的三边关系，得出，根据c为奇数可得出，进一步根据三角形周长的定义即可求解．
（1）解：∵a，b，c是的三边，
∴，
∴
，
；
（2）解：解方程组，得，
根据三角形的三边关系得，即，
∵c为奇数，
∴，
∴这个三角形的周长为．
22．【答案】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点．
．
（2）①；②角平分线的性质；③；④等量代换；⑤
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）证明：平分，，，
（角平分线的性质），．
是的垂直平分线，
，，．
在和中，
，
，
，
（等量代换）．
∵，，
．
在和中，
，
，
．
故答案为：①；②角平分线的性质；③；④等量代换；⑤．
【分析】（1）首先根据尺规作图做线段BD的垂直平分线，然后再根据题目要求完成作图即可；
（2）首先根据ASA证得，进而得出，然后根据HL证得，进一步即可得出结论。
（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点．
．
（2）证明：平分，，，
（角平分线的性质），．
是的垂直平分线，
，，．
在和中，
，
，
，
（等量代换）．
∵，，
．
在和中，
，
，
．
故答案为：①；②角平分线的性质；③；④等量代换；⑤．
23．【答案】解：（1）如图2，在上截取，连接，∵，
∴，
∵以为斜边作直角三角形，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）；
（3）∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为
．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（2）由（1）已证：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）第一步先证明，由全等三角形对应边相等的性质可以得到，再结合等腰三角形三线合一的性质推出，最后结合线段关系，通过等量代换即可证得结论；
（2）首先由全等三角形的性质得到，，接下来计算推出，再根据等腰直角三角形的性质得到，据此即可推导出结论；
（3）第一步先证明，根据全等三角形的性质得到，再结合之前得到的结论推出，由此进一步计算得到，最后将四边形的面积拆分为，分别计算两个三角形面积后求和即可得到最终结果．
24．【答案】解：（1）；
（2）如图，延长至点，使，连接．
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，，即，
∴，
∴，
∵的长为奇数，
∴边的长为或或或．
（3）∵，，
∴，
如图，延长至点，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）在和中，
，
∴，
∴小亮判断的依据是，
故答案为：．
【分析】（1）利用边角边（SAS）判定定理，即可完成和全等的证明；
（2）首先延长到点，使得，再连接。先证明，结合全等三角形对应边相等的性质，即可得到。之后利用三角形三边关系，可以推出，最后根据的长度为奇数这一条件，即可得到最终结果；
（3）先延长到点，使，连接。第一步证明，根据全等三角形的性质可得，且，由此可推出。再结合等腰三角形等边对等角的性质，得到，进而算出。最后证明，利用平行线的性质就可以求出最终结果。
25．【答案】解：（1）与互为“等角三角形”，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴与互为“等角三角形”．
（2）∵在中，，，
∴，
∵在中，为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，，
∴与互为“等角三角形”，
∴是的“巧等线”．
（3）或或或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）①如图，当时，是等腰三角形，
则，
∴，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∴；
②如图，当时，是等腰三角形，
则，
∴，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∴；
③如图，当时，是等腰三角形，
∴，
∴，，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
④如图，当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得；
⑤如图，当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得；
⑥如图，当时，是等腰三角形，
∴，
∴，，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
综上，所有可能的的度数为或或或．
【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据“等角三角形”判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠ACB，再根据角平分线定义可得∠ACD，则，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据“等角三角形”，“巧等线”定义即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当时，是等腰三角形，②当时，是等腰三角形，③当时，是等腰三角形，④当时，是等腰三角形，⑤当时，是等腰三角形，⑥当时，是等腰三角形，根据等腰三角形性质，三角形内角和定理，“等角三角形”，“巧等线”定义即可求出答案.
1 / 1贵州省安顺市2025-2026学年上学期阶段性质量检测八年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C．文心一言 D．纳米
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选C
【分析】根据钝角三角形的定义即可求出答案.
3．如图，在中，边上的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形的高的定义，可得边上的高为 AF.
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义即可得出答案。
4．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
5．下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．
（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求．
上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据角平分线的作法可知，，．
又∵，
∴．
∴，即射线即为的角平分线．
故选A．
【分析】由题意可得，，根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意；
B：添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故B符合题意；
C：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意；
D：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据三角形全等的判定，逐项进行判断，即可得出答案。
7．将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（　　）处截断．
A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形，
∴第二次可以在②处截断；
当当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形，
∴第二次可以在③处截断；
综上， 第二次可以在②或③处截断，
故选：C．
【分析】将已经截断下来的4厘米为等腰三角形的腰和底讨论，分别算出其他边的长度，再利用三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判定即可．
8．若点与点关于轴对称，则（　　）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据点关于x轴对称的坐标规律：横坐标相等，纵坐标互为相反数。可得出m=4，n=-3，再直接代入m+n求代数式的值即可.
9．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作，交延长线于点，
∵，
∴，
∵在中，的长是，
∴，
∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线，
∴，
∴乘电梯从点到点上升的高度是，
故答案为：A．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质。过点C作CM⊥AB延长线于点M，由∠ABC=150°得∠CBM=30°，再根据含30度角的直角三角形性质可得CM=12BC=5m，即上升高度h=5m.
10．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，与地面垂直，
∴与地面平行，
∵处距地面，
∴处距地面，
∴点距地面，
同理可得：与地面平行，
∴点到地面的高度等于点到地面的高度，
∴爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B．
【分析】根据三角形全等的判定与性质及平行线间距离。由AAS证明△OBD≌△COE，由全等性质得OE=BD=1.3m，OD=CE=1.5m，进而求得DE=0.2m，最后计算点E到地面的高度即可.
11．如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：如图：当时，是等腰三角形；
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当时，是等腰三角形；
当，，当时，都是等腰三角形；
综上，符合条件的点D的个数有6个．
故选：B．
【分析】根据等腰三角形判定定理分类讨论即可求出答案.
12．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①过作交于，交于，
，
点D是的平分线上的一个定点，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
是等边三角形；
故此项正确；
②由①得，
，
，
点D是的平分线上的一个定点，
是定值，
四边形的面积是一个定值；
故此项正确；
③如图，
当时，
的值最小，
是等边三角形，
的周长为，
的周长最小；
故此项正确；
④如图，
，
，
故此项正确；
故选：D．
【分析】①过作交于，交于，由平行线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，进而即可判断；②由全等三角形的性质得，点D是的平分线上的一个定点得是定值即可判断；③由垂线段最短得当时，的值最小即可判断；④由平行线的性质即可判断.
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是　 　．
【答案】（4）
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有（4）符合．
故答案为：（4）．
【分析】
由于翻折实质是轴对称，即两圆孔关于折痕对称，故正确答案为（4）．
14．将一副三角板按如图所示的方式放置，则图中的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角板可知，，，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意可得出，，再根据三角形的外角性质求解即可．
15．如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，．若，，则的长为　 　．
【答案】9
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
【分析】首先由AAS证明△ACE≌△BAD，进而即可得出AE=BD=6cm，CE=AD，再根据线段和差求解即可.
16．如图，在等腰中，，，于点，是延长线上的一点，是线段上的一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形．其中正确的是　 　．（填序号）
【答案】③
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：连接，与交于点，如图所示：
∵，，，
∴，
∴垂直平分线段，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故①错误；
由题意不能得到，所以不一定相等，故②错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故③正确；
故答案为：③．
【分析】连接OB，设OP与AC交于点E。结合题意可推得BD=CD，， ，进而逐项进行推理分析，即可得出 ① ② 错误 ， ③正确 ，即可得出答案。
三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，在平面直角坐标系中，点，，．
（1）在图中画出边上的中线，并写出点的坐标．
（2）在图中画出边上的高，并写出点的坐标．
（3）在图中画出线段关于轴对称的图形．
【答案】（1）解：如图，中线即为所求．
∵，，
∴的中点的坐标为，即为．
（2）解：如图，高即为所求．
∵点，，，
∴点的横坐标与点的横坐标相同、点的纵坐标与点的纵坐标相同，
∴点的坐标为．
（3）解：如图，即为所求．
．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）借助网格结构确定出线段的中点，连接即可得到所求中线，再利用中点坐标公式就能计算得到点的坐标；
（2）结合网格特点画出边上的高线，之后直接写出点的坐标即可；
（3）根据轴对称的性质，先找出点关于轴对称的对应点，再顺次连接各对应点即可得到所求三角形．
（1）解：如图，中线即为所求．
∵，，
∴的中点的坐标为，即为．
（2）解：如图，高即为所求．
∵点，，，
∴点的横坐标与点的横坐标相同、点的纵坐标与点的纵坐标相同，
∴点的坐标为．
（3）解：如图，即为所求．
．
18．如图，在中，，于点，平分，交于点．
（1）当，时，求的度数．
（2）猜想与，之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

（2）解：，理由如下：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的定义，得到的度数；进而结合三角形外角的性质可推出；最后利用高的定义及三角形内角和定理，即可得出的度数。
（2）先根据角平分线的定义得到；再结合三角形外角的性质，可得出；最后根据三角形内角和定理整理计算，即可得到结论∠DAE。
（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
19．如图，点，，，在同一条直线上，，，，与交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∴．
（2）解：由（1）已证：，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由即可证得；
（2）由（1）知，可得出，进而根据三角形的内角和定理可得出，然后根据两直线平行，同位角相等即可得出∠EGC=∠D=58°．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∴．
（2）解：由（1）已证：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．如图，是等腰三角形，，，是的中点．
（1）求的度数．
（2）求的度数．
（3）若，试说明：．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵，，
∴．
（2）解：∵，是的中点，
∴平分，
∵，
∴．
（3）解：∵，是的中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可求得；
（2）根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义求解即可求得；
（3）根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义可得，然后根据等腰三角形的性质可得，则可得，最后根据平行线的判定即可求得．
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：∵，是的中点，
∴平分，
∵，
∴．
（3）解：∵，是的中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．已知，，是的三边．
（1）化简．
（2）若和满足方程组且为奇数，求这个三角形的周长．
【答案】（1）解：∵a，b，c是的三边，
∴，
∴
，
.
（2）解：解方程组，得，根据三角形的三边关系得，即，
∵c为奇数，
∴，
∴这个三角形的周长为．
【知识点】三角形三边关系；加减消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）首先根据三角形的三边关系得到：，进而根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后合并同类项即可；
（2）首先解方程组可得出，进而根据三角形的三边关系，得出，根据c为奇数可得出，进一步根据三角形周长的定义即可求解．
（1）解：∵a，b，c是的三边，
∴，
∴
，
；
（2）解：解方程组，得，
根据三角形的三边关系得，即，
∵c为奇数，
∴，
∴这个三角形的周长为．
22．如图，在中，为边上的一点，平分，于点，于点．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点（只保留作图痕迹，不写作法和结论）．
（2）在（1）的条件下，求证：．请补全下面的证明过程．
证明：平分，，，
① （ ② ），
．
是的垂直平分线，
，，．
在和中，
，
③ ，
（ ④ ）．
∵，，
．
在和中，
，
．
【答案】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点．
．
（2）①；②角平分线的性质；③；④等量代换；⑤
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）证明：平分，，，
（角平分线的性质），．
是的垂直平分线，
，，．
在和中，
，
，
，
（等量代换）．
∵，，
．
在和中，
，
，
．
故答案为：①；②角平分线的性质；③；④等量代换；⑤．
【分析】（1）首先根据尺规作图做线段BD的垂直平分线，然后再根据题目要求完成作图即可；
（2）首先根据ASA证得，进而得出，然后根据HL证得，进一步即可得出结论。
（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点．
．
（2）证明：平分，，，
（角平分线的性质），．
是的垂直平分线，
，，．
在和中，
，
，
，
（等量代换）．
∵，，
．
在和中，
，
，
．
故答案为：①；②角平分线的性质；③；④等量代换；⑤．
23．【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在中，，，以为斜边作直角三角形，点，在边的同侧，与交于点，连接，过点作于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）．
【解决问题】
（1）如图2，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路，写出证明的完整过程．
【实践应用】
（2）的度数为________．
（3）若是的中点，且，求四边形的面积．
【答案】解：（1）如图2，在上截取，连接，∵，
∴，
∵以为斜边作直角三角形，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）；
（3）∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为
．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（2）由（1）已证：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）第一步先证明，由全等三角形对应边相等的性质可以得到，再结合等腰三角形三线合一的性质推出，最后结合线段关系，通过等量代换即可证得结论；
（2）首先由全等三角形的性质得到，，接下来计算推出，再根据等腰直角三角形的性质得到，据此即可推导出结论；
（3）第一步先证明，根据全等三角形的性质得到，再结合之前得到的结论推出，由此进一步计算得到，最后将四边形的面积拆分为，分别计算两个三角形面积后求和即可得到最终结果．
24．阅读与思考
数学课上，老师提出了如下问题，巧用中线构造全等数学问题
×年×月×日 星期日 晴 巧用中线构造全等数学问题 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，求边的取值范围． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 是边上的中线，． 在和中， ，，． ，． …… 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化．
任务：
（1）小亮判断的依据是________．
（2）如图3，在中，是边上的中线，，，若的长为奇数．请你根据小亮的思路求出边的长．
迁移应用：
（3）如图4，是的中线，在边上取一点，连接，交于点，若，，，求的度数．
【答案】解：（1）；
（2）如图，延长至点，使，连接．
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，，即，
∴，
∴，
∵的长为奇数，
∴边的长为或或或．
（3）∵，，
∴，
如图，延长至点，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）在和中，
，
∴，
∴小亮判断的依据是，
故答案为：．
【分析】（1）利用边角边（SAS）判定定理，即可完成和全等的证明；
（2）首先延长到点，使得，再连接。先证明，结合全等三角形对应边相等的性质，即可得到。之后利用三角形三边关系，可以推出，最后根据的长度为奇数这一条件，即可得到最终结果；
（3）先延长到点，使，连接。第一步证明，根据全等三角形的性质可得，且，由此可推出。再结合等腰三角形等边对等角的性质，得到，进而算出。最后证明，利用平行线的性质就可以求出最终结果。
25．引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”．
【理解概念】
　
（1）如图1，在中，，，垂足为，请判断与是否为“等角三角形”，并说明理由．
（2）如图2，在中，为角平分线，，，请说明是的“巧等线”．
【应用概念】
（3）在中，若，为的“巧等线”，请直接写出所有可能的的度数．
【答案】解：（1）与互为“等角三角形”，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴与互为“等角三角形”．
（2）∵在中，，，
∴，
∵在中，为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，，
∴与互为“等角三角形”，
∴是的“巧等线”．
（3）或或或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）①如图，当时，是等腰三角形，
则，
∴，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∴；
②如图，当时，是等腰三角形，
则，
∴，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∴；
③如图，当时，是等腰三角形，
∴，
∴，，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
④如图，当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得；
⑤如图，当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得；
⑥如图，当时，是等腰三角形，
∴，
∴，，
∵为的“巧等线”，
∴与互为“等角三角形”，
∵，，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
综上，所有可能的的度数为或或或．
【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据“等角三角形”判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠ACB，再根据角平分线定义可得∠ACD，则，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据“等角三角形”，“巧等线”定义即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当时，是等腰三角形，②当时，是等腰三角形，③当时，是等腰三角形，④当时，是等腰三角形，⑤当时，是等腰三角形，⑥当时，是等腰三角形，根据等腰三角形性质，三角形内角和定理，“等角三角形”，“巧等线”定义即可求出答案.
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