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陕西省咸阳市三原县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、单选题
1．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
2．某几何体的示意图如图所示，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向上平移4个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
5．为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市开展植树造林活动．如图，，在坡度（即）的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距为，则这两棵树之间的坡面距离为（ ）
A． B． C． D．
6．若反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．如图，在正方形中，点在边上，连接、交于点，，连接、则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线（a、b、c均为常数，且）的顶点坐标为，且抛物线与y轴的交点位于x轴上方，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．古龙桥，又名崇仁桥，位于三原县清峪河上，是西北地区著名的古桥之一．古龙桥在路灯灯光下的影子为________投影．（填“中心”或“平行”）
10．一个不透明的箱子里装着分别写有“元”“旦”二字的小球共20个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将这些小球摇匀后，从中随机摸出一个小球，记录小球上的文字并放回，不断重复这一过程，共摸了200次，发现有50次摸到写有“元”字的小球，估计这个箱子中写有“元”字的小球有_______个．
11．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 __________________．
12．如图，在矩形中，、相交于点O，平分分别交、于点F、E，若，则的度数为________．
13．已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，若，则________．（填“”“”或“”）
14．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点O，点E是边上的动点（不与A、B重合），过点E作，交边于点F，连接、，则面积的最大值是________．
三、解答题
15．解方程：．
16．如图，在中，，请你用尺规作图法在上找一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
17．如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，连接、，且．求证：．
18．我国书法历经数千年的发展，形成了篆书、隶书、楷书、行书、草书五种主要书体．雯雯和笑笑准备参加书法兴趣班，她们制作了一个如图所示的可以自由转动的转盘，将转盘平均分成四份，并在扇形中分别标上．篆书、．隶书、．楷书、．行书，雯雯先转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的书体，然后笑笑再转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的书体，两人各自选择自己所转到的书体学习．（若指针指在分割线上，则重转）
(1)雯雯转到的书体是．篆书的概率是________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的概率．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)以原点O为位似中心，在y轴右侧作出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为，并直接写出点、的坐标；
(2)若，且与的相似比为，则与的面积比为________．
20．三原小磨香油久负盛名，以其香味浓郁，营养价值高，深受消费者的喜爱．某超市销售一批三原小磨香油，在销售过程中发现，在一定范围内，该小磨香油的日销售量y（单位：瓶）与每瓶的利润x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当时，．
(1)求y关于x的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围）
(2)当该小磨香油的日销售量为瓶时，该小磨香油每瓶的利润为多少元？
21．李靖手植柽柳生长在陕西省三原县境内，树龄约1300年，具有深厚的历史寓意．小斌和小华在周末测量了该柽柳的高度（如图）．测量方案如下：首先，小斌在点C处竖立一个高为1米的测角仪，测得柽柳顶端A的仰角；小华站在点F处，某一时刻，柽柳在太阳光下的影子顶端和小华在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点H处，同时小斌用皮尺测得米，米，小华的身高米．已知，，，于点E，点B、C、F、H在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你计算该柽柳的高度．（参考数据：，，）
22．如图，在中，点D、E分别是、的中点，连接，过点A作于点F，延长至点G，使得，连接，过点C作交的延长线于点H．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求四边形的面积．
23．某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门如图所示，点Q为图中抛物线的顶点，其高（即顶点Q到地面的距离）为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求图中抛物线的函数表达式；（无需写出自变量x的取值范围）
(2)小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使得点A、D在抛物线上，点B、C在上，若光带的长度为6米，求“光带”、的长度之和（即的值）．
24．【问题探究】
（1）如图1，在中，，点D在边上，连接，过点C作，连接，．
①求证：；
②连接，求的值；
【问题解决】
（2）某校计划对直角三角形区域进行扩建并增设景观步道．如图2，在中，，点D在边上，为石板小路，施工团队拟从点C出发过点C作，连接、，将、设置为景观廊道，过点A作，分别交、于点H、N，为了方便师生，将规划为休闲步道，已知，米，米，，请你帮助施工团队计算休闲步道的长度．（石板小路、景观廊道、休闲步道的宽度均忽略不计）
参考答案
1．A
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
2．C
【详解】解：根据左视图的定义，C选项图形符合．
故选：C．
3．B
【详解】解：∵将抛物线向上平移4个单位长度，
∴新抛物线函数表达式为，
故选：B．
4．C
【详解】解：∵方程中，，，，
∴，
∴方程没有实数根，
故选：C．
5．D
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
6．A
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∴，
∴，
∴的值可以是，
故选：A．
7．A
【详解】解：在正方形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
，
∴，
故选A．
8．D
【详解】解：∵抛物线顶点为，
∴设，
，
∴，，
∵与轴交点在轴上方，
∴当时，，
∴，即，
，与矛盾，
故A错误；
，与矛盾，
故B错误；
由，得，
故C错误；
，
故D正确，
故选：D．
9．中心
【详解】解：路灯灯光是点光源，光线从光源点向四周发散，
因此古龙桥在路灯灯光下形成的影子是中心投影．
故答案为：中心．
10．5
【详解】解：共摸了200次，摸到“元”字小球的次数为50次，
频率为．
摸到“元”字小球的概率约为．
设箱子中写有“元”字的小球有x个，
则概率为，
因此，
解得：．
故答案为：5．
11．(32-x)(20-x)=540
【详解】解：如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧，则图中阴影部分就为草坪了，
由题意可知长为(32-x)米，宽为(20-x)米，
由矩形的面积公式则可得：(32-x) (20-x)=540．
故答案为：(32-x) (20-x)=540．
12．
【详解】解：∵在矩形中，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
由矩形的性质可知，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【详解】解：将点代入反比例函数，
得，
解得：，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：>．
14．3
【详解】解：如图，设交点为，
∵四边形是菱形，，，
∴，，
即，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，即，
∴，即，
∴，
∵，
∴当时，面积有最大值．
故答案为：．
15．，
【详解】解：
或
解得：，．
16．见解析
【详解】解：如图所示，作的角平分线交于，点即为所求．
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
即为的角平分线，根据角平分线的尺规作图即可．
17．
证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，，
，
．
【详解】略
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：一共有四种书体，．篆书是其中一种，则雯雯转到的书体是．篆书的概率是．
（2）解：列表如下：
笑笑雯雯
由上表可知，一共有16种等可能的结果，其中雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的结果有7种，
∴雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的概率为．
19．(1)图见解析，，
(2)
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．，，
（2）解：∵，且与的相似比为，
∴与的面积比为．
故答案为：．
20．(1)
(2)该小磨香油每瓶的利润为元
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
由题意当时，，代入得：
，
，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：当时，代入得：
，
答：该小磨香油每瓶的利润为元．
21．该柽柳的高度为米
【详解】解：，，，，
，
四边形为矩形，
米，，
，
，
，
即，①
，，
在中，，即，②
联立①②，
解得，
该柽柳的高度为米．
22．(1)
证明：，，
，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，，
∵，
，
在和中，
，，，
，
，
四边形为矩形；
(2)
【详解】（1）略
（2）解：是的中位线，
，
，，
在中，，
，
四边形为矩形，
．
23．(1)
(2)“光带”、的长度之和为9米
【详解】（1）解：∵米，
∴顶点的横坐标为，
∴顶点的坐标为，
设图中抛物线的函数表达式为，
将代入，
得，
解得:，
∴图中抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴轴，，
∵米，
∴由抛物线的对称性可知：点的横坐标为3，
令，则，
∴，
∴（米），
∴“光带”、的长度之和为9米．
24．
（1）①证明：，且都是锐角，
，
，
，
；
②2（2）休闲步道的长度为米
【详解】（1）①略
②解：，
，
，
由①得，
，
，
，
，
．
（2）解：如图2，过点作于点，
由勾股定理得：，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
∵，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
休闲步道的长度为米．

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