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河北唐县第一中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．要得到函数，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．“”是命题“，”为真命题的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图所示，中，等于（ ）
A． B． C． D．
5．设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．5
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若是第二象限角，则是钝角
B．角与角的终边相同
C．若，则为第三象限角或第四象限角
D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角
10．若正实数、满足，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值是 D．的最小值为
11．设函数 ，若有四个零点，则（ ）
A．的最小值为-2 B．
C． D．m的取值范围是（0，2）
三、填空题
12．已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为________.
13．已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值为______.
14．已知在矩形中，，点是边的中点， 则________.
四、解答题
15．已知集合，，
（1）若，求.
（2）若，求实数a的取值范围.
16．已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)若，求的值域.
17．某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量．
(1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用）
(2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？
18．已知函数，
(1)求函数定义域；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)若，求的取值范围.
19．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若，求在区间上的最小值；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
参考答案
1．D
解析：易知集合，，
则.
故选：D
2．B
解析：把向右平移个单位得函数解析式为，
故选：B．
3．A
解析：由，可得对，，又因为，所以，
若，则成立，即，成立；
反之，若，成立，则，不能推出.
所以“”是命题“，”为真命题的充分不必要条件.
故选：A.
4．C
解析：从题图上可看出，
，而．
故选：C．
5．C
解析：∵不等式的解集为，
∴，的两个根分别为，
由根与系数的关系，得，，
，
∴．
6．C
解析：因为，则.
故选：C.
7．B
解析：由函数的定义域为，满足，即，
则函数是奇函数，且，
由函数在上单调递增，且，
则函数在上单调递增，且，
可得下表：
所以不等式的解集为.
故选：B.
8．D
解析：当时，，
由，知在上不单调递增，
当时，因为在上单调递增，，
解得，故实数的取值范围为．
故选：D．
9．BD
解析：对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误；
对于B，∵，故B正确；
对于C，若，则为第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上，故C错误；
对于D，若为第二象限角，则，，所以，
，若为偶数时，为第一象限角；
若为奇数时，则，，为第三象限角.
综上，为第一象限或第三象限角，故D正确.
故选：BD.
10．ACD
解析：因为正实数、满足，
对于A选项，由基本不等式可得，整理可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A对；
对于B选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为，B错；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对；
对于D选项，因为，所以，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
即的最小值为，D对.
故选：ACD.
11．AC
解析：由，得，作出的大致图象，如图所示，

结合函数图象，可得：
当时，方程只有1解；
当或时，方程只有2解；
当时，方程只有3解；
当时，方程只有4解，
所以有四个零点，则，故D错误，
若有四个零点，由图可知：
当时，，，，
，，
当时，，的最小值为，故A正确；
当时，，，，故B错误；
，，故C正确.
故选：AC.
12．
解析：因为，，设该扇形的弧长为，
则，解得.
故答案为：
13．
解析：由幂函数定义得，解得或，
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递减；
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递增，不符题意舍去.
综上，的取值为.
故答案为：.
14．
解析：由题意如图所示：
由，，
因为，所以，
所以
，
故答案为：.
15．（1）；（2）．
解析：（1）当时，，而，
所以．
（2）若，则，解得，此时，符合题意；
若，则，要，则或，解得或．
综上，实数a的取值范围为．
16．(1)，.
(2).
解析：（1），
令，，解得，.
所以的单调递减区间为，.
（2）因为，所以，
当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最小值为.
所以的值域为.
17．(1)
(2)当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元
解析：（1）当时，，
当时，，
∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为
（2）当时，，
∴当时，．
当时，，
当且仅当，即时，．
，
∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元．
18．(1)；
(2)偶函数，证明：
函数是定义在上的偶函数，
由于，
所以函数是偶函数.
(3).
解析：（1）函数有意义，则，解得，
所以函数定义域为.
（2）略
（3）依题意，，函数在上单调递减，
而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，
不等式，则，
即，解得或，
所以的取值范围是.
19．(1)
(2).
(3).
解析：（1）由，得，即：，解得.
（2）当时，，
令，因为，所以，
所以，
当时，取最小值，所以在区间上的最小值为.
（3）若对任意的，总存在，使得，
可得：.
又因为，所以对任意的，，
则对任意的恒成立，
即，即，令，.
因为在区间上为增函数，所以
所以实数的取值范围是.

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