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第二十六章二次函数单元检测卷（一）人教版2026—2027学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）．
A． B． C． D．
3．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
6．二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______．
11．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________．
12．已知一次函数与二次函数（为常数）的图象在同一平面直角坐标系．若两个函数图象没有交点，则的取值范围是_________；若时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点，则的最小值是_________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)求抛物线与x轴的交点坐标；
(3)当时，请直接写出x的取值范围．
14．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标．
15．某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元
/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系．
(1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式；
(2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？
16．已知抛物线与x轴交于点A，B．
(1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2)若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，请求出m的取值范围．
17．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于，两点，顶点为．
(1)若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求的值．
(2)①若，在已知的二次函数图象上，比较，的大小；
②求的面积．
18．二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点．
(1)试求a，b所满足的关系式；
(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值；
(3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
2．C
3．D
4．B
5．C
6．A
7．C
8．B
9．四
10．6
11．8
12．
13．【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：依题意，当时，，
则，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点坐标分别为；
（3）解：∵中的
∴开口向上，
由（2）得抛物线与x轴的交点坐标分别为；
当时，x的取值范围为．
14．【详解】（1）解：将点，分别代入，得：
即，
将代入，解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：令，则，
整理为，因式分解得，
解得，
已知一个交点为，故另一个交点坐标为．
15．【详解】（1）解：根据题意可得：，
将代入，得，
整理得，
故与之间的函数解析式为．
（2）解：
，
∵，
∴当时，取最大值，最大值为．
故售价元时，利润最大，最大利润元．
16．【详解】（1）∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）
由抛物线可知，其对称轴为直线，其顶点为 .
又∵抛物线在点A，B之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，
∴由图可知线段上必须包含5个整点，即轴上的整点的取值为：，0，1，2，3．
∴抛物线与轴的交点B的横坐标应满足，
令，得，解得，
∴，即，
∴，即，
∴解得，
∴m的取值范围为：．
17．【详解】（1）解：二次函数图象向下平移3个单位后解析式为，
平移后图象过原点，
，
解得．
（2）解：①，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
距离对称轴越远函数值越大，
，，
到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
．
②令，则，
解得，，
，
，
点C坐标为，
．
18．【详解】（1）解：将，代入，得，
∴．
（2）解：由（1）可知，
∴顶点M的纵坐标为，
∵，
∴
∴，
整理得，
解得，
由图象可知，
∵顶点M在第二象限，
∴对称轴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
(3)不存在实数a，使得为直角三角形．
理由如下：
①由图可知，A为直角顶点，不可能；
②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能；
③若B为直角顶点，则，
令，可得，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，整理得，
解得，
由（2）可知，，
∴，不合题意，舍去；
综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形．
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