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第二十五章一元二次方程单元检测卷（一）人教版2026—2027学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程，配方的结果是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（ ）
A．1 B． C．5 D．
6．某樱桃种植基地2024年樱桃产量为吨，2026年达到吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．对于一元二次方程，下列判断正确的是（ ）
A．若是该方程的一个根，则一定有成立；
B．若，则方程有一根为；
C．若该方程的解为和x，则方程的解是或
D．当，，时，方程一定有实数根；
8．若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______．
10．已知一元二次方程的两根为、，则_____．
11．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________．
12．若m是方程的一个根，则代数式的值为______．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题：
(1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____．
(2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解：
①用配方法解：；
②用公式法解：；
③用因式分解法解：．
(3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值．
15．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏．
(1)如图，当时，设长为米．
请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围．
若围成的菜地面积为平方米，求的长．
(2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由．
16．目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元．
(1)降价后，草莓园当天销售多少元？
(2)草莓园采摘套票降价了多少元？
17．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
18．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，．
(1)求证：无论取何值，是方程①的一个根．
(2)当时，求的取值范围．
(3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值．
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．D
5．D
6．A
7．D
8．B
9．
10．
11．
12．9
13．【详解】（1）解：，
移项，得，
解得：，．
（2）解：，
移项，得，
方程两边同时加上4，得，即，
则，或，
解得，．
14．【详解】（1）解：由题意，得且，解得；
（2）选择方程①
由方程；得：
，
，
，
，
，
∴，；
选择方程②
，，，
，
，；
选择方程③
或
，；
（3），是一元二次方程的两根，
代入得：，，且，，
．
15．【详解】（1）解：，
由题意得，解得；
∵围成的菜地面积为平方米，
∴，整理得，
解得，（舍去），
∴的长为米；
(2)解：不可以，理由如下，
设长为米，
当时，，
则围成的菜地面积，
，
∴方程无实数根，
∴围成的菜地面积不可以达到平方米．
16．【详解】（1）解：∵原来的销售额为元，增加了1000元，
∴降价后，草莓园当天的销售额为（元）；
（2）解：设草莓园采摘套票降价了x元，根据题意得：
，
解得：，，
当降价为50元时，票价为（元），
∵，
∴此时小于成本价，降价措施不合理，
∴舍去，
答：降价了10元．
17．【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得；
（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
，．
，
，
整理，得，
解得或．
又，
．
18．(1)证明：∵，
∴，
，
，
，
解得：，，
∴无论取何值，是方程①的一个根；
（2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，
∴根据根与系数的关系，，，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根，
又∵，，
∴，
设的一个根为，
∵的一个根比方程①的根大，
∴，
把代入中，
，
整理得：，
∵，则，
∴的最大值为．
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