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30.2三角形的内切圆同步训练人教版2026—2027学年九年级数学上册
姓名：________ 班级：______ 学号：________ 学校：_________________
一、选择题
1．三角形内切圆的圆心为（ ）
A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
2．如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（ ）
　
A． B． C． D．
3．如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外心一定在三角形内
C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的内心到三边距离相等
5．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A． B．1 C． D．
6．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　）
A．15 B．9 C．7.5 D．7
7．在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，，，内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________．
10．如图，内接于，于点，若为的内心，则______．
11．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________．
12．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π）
三、解答题
13．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、．
(1)连接、，则______．
(2)若，，求的半径．
(3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______．
14．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
15．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点．
(1)求证：．
(2)求证：．
16．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F．
(1)点O是的_______心；
(2)如图1，若，，．设，求的值；
(3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）．
17．如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数：
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
18．追本溯源
题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数．
变式拓展
（2）如图2，在中，，点是的内心．
①求的度数；
②若，，求的长．
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．D
5．C
6．B
7．C
8．C
9．
10．
11．
12．
13．【详解】（1）解：是的内切圆，
平分，平分，
在中，，
，
，
．
（2）解：设半径为r，连接、，
是的内切圆，切点分别为、、，
由切线长定理得：，，，
，，，
四边形是正方形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得： 或 （舍去负值），
的半径．
（3）解：由（2）知，，，
设斜边的中点为，则是的外心，
分别连接，
，，
，
，
是内切圆半径，，
，
在中，由勾股定理得：
，
的外心和内心的距离为．
14．【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，
则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2）解：，，，
∴半周长，
又，
，
，
则的长为．
15．【详解】（1）证明：∵点是的内心，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵点是的内心，
∴，
∵，
即，
∴．
16．【详解】（1）解：∵是的内切圆，
∴点O是的内心．
故答案为：内；
（2）解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F，
∴，
∵，，，设，
∴，
∴，
∴，解得，
∴；
（3）解：如下图，连接，
∵的内切圆与分别相切于点D，E，F，
∴，，
设半径为，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴；
(2)解：，证明如下：
如图所示，连接，
∵点I为的内心，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心．
∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点，
∴，，，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴的周长为
．
18．【详解】解∶（1）∵点是的内心．
∴平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2）①∵在中，，
∴．
∵点是的内心，
∴，
∴；
②如图，画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接，
根据三角形的内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点，
∴，，，，
∵，，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
设，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
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