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内蒙古自治区包头市第四中学2025-2026学年高一下学期7月阶段检测数学试题
一、单选题
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
2．下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若，是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则，不是共线向量
D．若，，则
3．某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
4．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（ ）

A． B．2 C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行
B．和同一条直线都相交的两条直线一定相交
C．经过空间中三个点有且只有一个平面
D．经过两条相交直线有且只有一个平面
6．已知长方体中，，，则二面角所成平面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）nmile

A． B．8 C． D．
8．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中不正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，向量与向量的夹角为锐角
C．存在，使得
D．若，则
11．如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（ ）
A．在点运动过程中，直线与始终为异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与直线所成的角为定值
D．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面
三、填空题
12．已知向量 若 在 方向上的投影向量为 ，则______________.
13．复数满足，则的最大值为________.
14．降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口直径为20cm、底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，则本次降雨的降水量是_______mm．
四、解答题
15．复数，当实数取什么值时．
(1)为纯虚数；
(2)复数在复平面内对应点在第四象限．
16．已知的内角所对的边分别为，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
17．《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)根据频率分布直方图求；
(2)根据调查的数据，估计该地中学生体重的众数和上四分位数；
(3)根据调查，样本数据落在区间的平均数是57，方差是2，落在区间的平均数是63，方差是5，据此求样本数据落在区间的总平均值和方差．
18．如图（1），已知菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（2）.
(1)求证：点是点在平面上的射影；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且.
(1)记平面平面，证明：.
(2)求点到平面的距离.
参考答案
1．D
【详解】为了将分母实数化，给的分子分母同时乘以分母的共轭复数，即：
，
所以的虚部为.
故选：D.
2．B
【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误；
对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误.
故选：B.
3．C
【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为5，6，7，7，8，8，9，9，9，11，11，12．
因为，所以这组数据的第75百分位数是．
4．A
【详解】

过作的平行线交于M点，则易知，
由正弦定理可知，则，
由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是.
故选：A
5．D
【详解】对于A, 一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面可能相交也可能平行，例如在正方体中, 平面中的点到平面的距离均相等，但是平面 与平面相交，不平行，故A错误，
对于B, 和同一条直线都相交的两条直线不一定相交，例如正方体中 均与相交，但是不相交，故B错误，
对于C，经过空间中三个不共线的点有且只有一个平面，故C错误，
对于D, 两条相交直线可以确定一个平面,因此经过两条相交直线有且只有一个平面，故D正确，
故选：D

6．A
【详解】如图，取中点，连接，
根据长方体的性质和可得，，，
所以，，
又平面，平面，
所以为二面角的平面角，
则，，，
所以.
7．D
【详解】在中，，
由正弦定理得，
在中，由余弦定理得
，
所以.
故选：D.
8．B
【详解】
如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥，
所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接.
正三棱锥的底面的边长为6，所以，
因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即，
所以，
设外接球半径为，则，，
所以在中，可得，
解得，则外接球体积为.
故选：B.
9．ABC
【详解】对于A中，如图所示：
满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确；
对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确；
对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确；
对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确.
故选：ABC.
10．CD
【详解】选项A，∵ 当时，，
∴ ，
∴ ，故A错误.
选项B，若向量与的夹角为锐角，需满足且两向量不共线同向.
∵ ，令，解得.
当与共线时，，解得，此时，两向量同向，夹角为，不满足锐角条件，故且时夹角为锐角，B错误.
选项C，由上述共线条件可知，当时，且，故存在使得，C正确.
选项D，若，则，即，解得，D正确.
11．ABC
【详解】对于A：由题意，在正方体中，
点在线段上运动，，平面，平面，
所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内，
所以直线与始终为异面直线，故A正确；
对于B：由三棱锥的体积，其中的面积为定值，
因为，平面，平面，所以直线平面，
所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C：在正方体中，平面，因为平面，
所以，又由，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
所以异面直线与直线所成的角为，故C正确；
对于D：根据正方体的结构特征，可得，
又平面，平面，所以平面，
又由选项B的解析过程知平面，，平面，
所以平面平面，
所以当点与点重合时，平面平面，
即存在点，使得平面平面，故D错误.
故选：ABC
12．3
【详解】 在 方向上的投影向量为，
故，解得，
故答案为：
13．/
【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
的几何意义为所对应的点到点的距离，
因为，
所以的最大值为.
故答案为：
14．29.6
【详解】设水面的半径为，水深为，因为上口半径为，底面半径，则，故，
雨水的体积为，
又,故,
故答案为：29.6
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为为纯虚数，
所以，解得.
（2）因为复数在复平面内对应点在第四象限，
所以，即，
解得.
16．(1)
(2)
【详解】（1），，由正弦定理得：，
即，
，，，，
即，又，.
（2）由余弦定理得：，解得：；
.
17．(1)
(2)众数估计：52.5；上四分位数估计：58.75
(3)总平均值59；方差11．
【详解】（1）由题意可得，解得.
（2）频率分布直方图中，最高矩形的中点值为52.5，所以众数为52.5.
设上四分位数：
，
所以上四分位数落在内，则：
，解得，所以上四分位数估计为58.75.
（3）由频率分布直方图知样本数据落在区间和频率比为2：1，则样本数据落在区间的总平均值.
样本数据落在区间的总方差为.
18．(1)
在菱形中，，
所以，均为等边三角形，
因为，为的中点，所以，
又，所以，
连接，则，
又因为，
所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又，且，平面，
所以平面，所以点是点在平面上的射影；
(2)
【详解】（1）略
（2）设点到面的距离为，又菱形边长为，
则的面积，所以；
由的面积，由（1）知平面，，
所以，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值．
19．(1)因为为正方形，所以，
平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
(2)
【详解】（1）略
（2）如图，
设，连接.
因为四棱锥为正四棱锥，所以平面.
因为，所以.
因为在中，，，所以，所以.
所以.
所以.
设到平面的距离，也就是到平面的距离为，
则，，
所以.

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