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陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷
一、单选题
1．高足碗是中国传统碗式样，造型与高足杯相似，由上方的碗和下方的高足组成，如图是它的主视图，则图中高足碗的俯视图是（ ）．
A． B． C． D．
2．在“阳光大课间”活动中，南湖中学设计了“篮球、足球、排球”三种球类送动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
4．如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在轴上，边在轴上，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在半径为4的中，于，点为中点，弦的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，为边的三等分点，点，在边上，，为与的交点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么___________．
10．一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为_________．
11．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为______．
12．如图，是的直径，点C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）
13．如图，在矩形中，，，点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点，点是边上一个动点，连接，，则线段的最小值为_____．
三、解答题
14．计算：．
15．解方程：．
16．如图，在△ABC中，试用尺规作图法作出△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）．
17．如图，在四边形，，连接，点为的中点，连接并延长交于点，，连接．求证：四边形是菱形．
18．学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．
(1)甲选择“趣挖番薯”小组的概率是__________；
(2)请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率．
19．如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点．
(1)求的值；
(2)观察图象，直接写出时，自变量的取值范围．
20．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度．
(1)求v与M之间的关系式；
(2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v．
21．如图，已知在中，D是边上的一点，的平分线交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．唐代诗人孟郊在《游子吟》中写到：“慈母手中线，游子身上衣．临行密密缝，意恐迟迟归．谁言寸草心，报得三春晖．”母亲，是我们永远道不完的思念，写不尽的依恋．在“母亲节”前夕，某花店购进一批康乃馨鲜花，每束康乃馨鲜花的进价为20元，每天的销售量（单位：束）与销售单价（单位：元）之间的函数关系式如图所示．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)当每束康乃馨鲜花的销售单价定为多少元时，花店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
23．为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：，，，，）
24．如图，已知是的直径，与相切于点B，D为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
25．某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线形，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带，来增加夜景效果，，均与垂直，点，分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
26．问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）
参考答案
1．D
【详解】解：俯视图为：
故选D．
2．B
【详解】解：甲、乙各有种选择（篮球、足球、排球），
所有可能的情况共有种，
两人选择相同项目的情况有种（同为篮球、同为足球或同为排球），
∴所求概率为，
故选：．
3．C
【详解】解：∵方程为一元二次方程，
∴二次项系数 ，即 ，
又∵方程有实数解，
∴，
解得 ，
综上所述：关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 且 ．
故选C．
4．C
【详解】解：如图，点A在，连接、，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．D
【详解】解：四边形是菱形，
，，
边在y轴上，
轴，
轴，
点A的坐标为，
，，
在中，，
C点的坐标为，
∴点的坐标为
故选：D．
6．C
【详解】连接，
∴，
又∵点为中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
7．D
【详解】解：∵，为边的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8．B
【详解】解：∵图像开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为，
∴，
，
，
∴①错误，④正确；
当时，由图像知，
把代入解析式得：，
∴，
∴②正确；
∵，，
，
∴③正确；
∵时，（最大值），
时，，
∵的实数，
，
∴
∴⑤错误．
故正确的是②③④，共3个，
故选：B．
9．6
【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，
解得．
故答案为：6．
10．6
【详解】解：设绿球的个数为x，则总球数为，摸到绿球的概率为．
解得．
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：6．
11．
【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标，
∵一次函数与二次函数的图象相交于点，．
∴的解为；
故答案为：．
12．
【详解】解：∵切于C，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，
点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点，
点Q的轨迹是以点F为圆心半径为2的圆，
连接交于点E，交于点，此时线段的值最小，即的长，
矩形，，，
，，
点C关于的对称点，
，
点绕点顺时针旋转得到点，圆的半径为2，
的半径为2，即，，
，
在中，，
，
则线段的最小值为8．
故答案为：．
14．12
【详解】解：原式 ．
15．，
【详解】解：，
移项得，
直接开平方得，
，．
16．
即为所求．
【详解】解：如图所示：
第一步：分别以B、C为圆心，大于长为半径画弧，于BC上方交于点E，于BC下方交于点F，连接EF，
第二步：分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，于AC上方交于点M，于AC下方交于点N，连接MN，
第三步：EF于MN交于点O，以O为圆心，OA为半径画圆，则 即为所求．
17．
证明：∵点O为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形．
【详解】 略
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：共有种结果：A．搭豇豆架、B．斩草除根C．趣挖番薯、D．开垦播种，
甲选择“趣挖番薯”小组的概率为；
故答案为；
（2）解：列表如下：
共有种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有种，
甲、乙两人选择同一个小组的概率为，
答：甲、乙两人选择同一个小组的概率为．
19．(1)，，
(2)或
【详解】（1）解：由题意，将代入和中，
得，
解得，
∴，，
把代入中，
得
解得，
；
（2）解：由图象可得，当时，自变量的取值范围是或．
20．(1)v与M之间的函数关系式为
(2)当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为
【详解】（1）解：设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且）．
将，代入，
得，
解得，
∴v与M之间的函数关系式为；
（2）当时，，
∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为．
21．（1）证明：∵BE平分
∴∠DBE=∠CBE
∵
∴∠ABE=∠AEB
∴∠ABD＋∠DBE=∠C＋∠CBE
∴∠ABD=∠C
∵∠A=∠A
∴；
（2）
【详解】（1）略
（2）∵，，
∴AC=AD＋CD=7
∵
∴
即
解得：AB=
∴=．
22．(1)
(2)当每束康乃馨鲜花的单价定为元时，花店每天获得的利润最大，最大利润是元．
【详解】（1）解：依题意，设与之间的函数表达式为，
观察函数图象，把代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：由（1）得，
设每天获得的利润为，
∵某花店购进一批康乃馨鲜花，每束康乃馨鲜花的进价为20元，
∴，
∵，
∴开口向下，且在对称轴为直线时，有最大值，
∴把代入，
得，
当每束康乃馨鲜花的单价定为元时，花店每天获得的利润最大，最大利润是元．
23．广告牌的高约米
【详解】解：如图，过点B作，，垂足分别为M、N，
由题意可知，，，，米，米，
∵，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米），
在中，，米，
∴（米），
∴（米）
答：广告牌的高约米．
24．(1)
证明：如图，连接，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为的切线，
，即，
，
又为的半径，
为的切线；
(2)的长为3
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知，，
，
设，
，，
，
在中，，
即，
解得，
的长为3．
25．(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过，
设其表达式为，
∴
解得：，
∴所在抛物线的函数表达式为；
（2）∵点到的距离均为，
当时，，
，
∴，
∴这两条灯带的总长为．
26．
（1）如图所示，有三个符合条件的平行四边形；
（2）AP的长为2或8；
（3）可以，符合要求的□BCDE的最大面积为.
【详解】(1)略
(2)如图，
∵AB=4，BC=10，
∴取BC的中点O，则OB＞AB，
∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于两点，
连接，
∵∠BPC=90°，点P不能在矩形外；
∴△BPC的顶点P在或位置时，△BPC的面积最大，
作⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴，
由对称性得，
综上可知AP的长为2或8；
(3)可以，如图所示，连接BD，
∵A为平行四边形BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，
∴BD=100，∠BED=60°，
作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧上，取的中点，连接，
则，且∠=60°，∴△为正三角形，
连接并延长，经过点A至，使，连接，
∵⊥BD，
∴四边形为菱形，且∠°，
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则，
∴，
∴，
所以符合要求的□BCDE的最大面积为.

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