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6.4线段的和差
基础提质
知识点 1 线段的和差
1.下列关系式中，与图不符的是 ( )
A. AD-CD=AB+BC B. AC-BC=AD-DB
C. AD+BC>AC+BD D. AD-AC=BD-BC
2.如图,C,B 是线段AD 上的两点,若AB=CD,BC=2AC,则AC与CD的关系为 ( )
A. CD=2AC B. CD=3AC
C. CD=4AC D.不能确定
3.已知线段AB=8cm,点C在直线AB上,BC=3cm,则AC的长为( )
A.11 cm B.5cm
C.11 cm或5cm D.11 cm或3cm
4.已知线段AB，延长BA 至点C,使得 延长AB 至点D，使得 量得 CD的长为6cm,则可得AB 的长为 .
5.如图，已知线段a，b(a>b).用直尺和圆规作图.
(1)求作线段c,使c=a-b.
(2)求作线段d,使d=a+2b.
知识点 2 线段的中点
6.「2025河北唐山乐亭期中」已知点A，B，P在一条直线上，则下列等式中，一定能确定点 P 是线段AB的中点的是 ( )
A. AP=BP B.
C. AB=2AP D. AP+BP=AB
7.「2026杭州上城期中」如图，已知点 C 为线段AB 的中点,点 D 在线段 BC 上.若AD=12 cm,CD=3c m,则线段BD 的长是 cm.
8.「2025绍兴嵊州期末」如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点,AB=10cm,AD=7 cm.
(1)求AC的长.
(2)若点 E 在线段AC 上,且 CE=2cm ,求BE的长.
能力提升
9.如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：
①作射线 AM；②在射线AM上顺次截取AC=CD=5cm;③在射线 DM上截取 DE=3cm;④在线段EA 上截取EB=4.5cm,发现点 B 在线段CD上.由操作可知，线段CB=( )
A.2.5cm B.3cm C.3.5cm D.4 cm
10.如图，已知线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，则图中所有线段的长度和为 ( )
A.3a+b B.3a-b
C. a+3b D.2a+2b
11.如图,点C,D把线段AB三等分,点 P 是线段BD上一点,且AC+BP=CP,AP-CD=mBP,则 ( )
A. m=1 B. m=2 C. m=3 D. m=4
12.已知线段AB=3c m,延长线段AB到点 C，使 M为线段AC的中点.点P 在线段AC上，且到M 点的距离为2cm.现有下列判断：①P为线段 MC 或线段AM的中点;②BM=1cm;③AP=2cm 或AP=6cm; ⑤P为线段AC 的四等分点.则判断正确的个数是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
13.如图，在线段AB上任取两点C,D,并作CD的中点E,已知AB=a,CE+BD=b,则BD-AC 的结果用含有a,b的式子表示为 .
14.「2025温州期末, 」如图,线段AB上依次有C,D,E 三点,已知 AB= 10,C 是 AD 的中点,BE=CD.
(1)当AD=4时,求DE的长.
(2)若DE=BE+1,求 BE 的长.
15.已知点C是直线AB 上一点,线段AB=24,AC:BC=3:1.
(1)如图，当点 C在线段AB上时，求AC的长.
(2)若点 M,N分别是AC,BC的中点,求线段MN的长.
素养提优
16.如图,线段AB=24,动点 P 从 A 出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线AB 运动,M 为AP 的中点.
(1)当点 P 在线段AB上运动时.
①出发多少秒后,PB=2AM
②试说明2MB-BP 为定值.
(2)当点 P 在线段AB 的延长线上运动时，设N为 BP 的中点，有下列两个结论：
①MN的长度不变.
②AM+PN的值不变.
选出一个正确的结论，并求其值.
6.4线段的和差
基础提质
1. C AD-CD=AC,AB+BC=AC,故A正确;AD-DB=AB,AC-BC=AB,故 B 正确;AC+BD=AD+BC,故 C错误;AD-AC=CD,BD-BC=CD,故D正确.故选 C.
2. B 因为AB=CD,所以AB-BC=CD-BC,即AC=BD,因为BC=2AC,所以 CD=BC+BD=2AC+AC=3AC.故选 B.
3. C分两种情况：
①当点 C 在线段AB上时，如图，
AC=AB-BC=8-3=5(cm);
②当点 C 在线段AB 的延长线上时，如图，
AC=AB+BC=8+3=11(cm).
所以AC的长为5cm 或11 cm.故选 C.
4.答案 3c m
解析 因为 所以令AB=3xcm,则AC= xcm,BD=2xcm,所以CD=AC+AB+BD=x+3x+2x=6x(cm).因为CD=6cm,所以6x=6,解得x=1,所以AB=3x=3cm.故答案为3c m.
5.解析 (1)如图,线段c(即AC)即为所求.
(2)如图,线段d(即AD)即为所求.
6. A 如图所示:
因为AP=BP，且点A，B，P在一条直线上，所以P是线段AB的中点，故A 正确；当 时，点P 不一定在线段AB上，不一定是线段AB 的中点，故B错误；当AB=2AP时，点P不一定在线段AB上，不一定是线段AB的中点,故C错误;若AP+PB=AB,则点 P 只要在线段AB上就能满足，不一定是线段AB 的中点，故D错误.故选 A.
7.答案 6
解析 因为AD=12cm,CD=3cm,所以AC=AD-CD=9 cm,因为点 C 为线段AB的中点,所以BC=AC=9 cm,所以BD=BC-CD=6cm,故答案为6.
8.解析 (1)因为AB=10cm,AD=7cm,
所以BD=AB-AD=3cm,因为D为CB的中点,
所以CB=2BD=6cm,所以AC=AB-CB=4cm.
(2)因为点 E 在线段AC上,且CE=2cm,
所以BE=BC+CE=6+2=8(cm).
能力提升
9. C BD=EB-DE=4.5-3=1.5cm,所以CB=CD-BD=5-1.5=3.5cm.故选 C.
10. A 因为线段AB的长度为a,所以AB=AC+CD+DB=a,又因为CD的长度为b,所以AD+CB=a+b,所以题图中所有线段的长度和为 AB+AC+CD+DB+AD+CB=a+a+a+b=3a+b.故选 A.
11. C 因为点C,D把线段AB三等分,所以令AC=CD=DB=a,BP=b.因为AC+BP=CP=CD+DB-BP,所以a+b=a+a-b,则a=2b.因为AP-CD=mBP,所以AC+CD+DB-BP-CD=mBP,所以a+a+a-b-a= mb,整理,得2a-b= mb,所以4b-b= mb,则3b= mb,所以m=3.故选 C.
12. B 因为AB=3cm,所以 所以AC=AB+BC=8cm,因为M为线段AC的中点,所以AM= 所以BM=AM-AB=4-3=1(cm),故②正确.
因为点 P 在线段AC上，且到M点的距离为2cm，所以MP=2cm,
当点 P在点M 右边时，如图所示，
PC=MC-MP=4-2=2(cm),AP=AM+MP=4+2=6(cm),
所以
所以P为线段MC的中点，P为线段AC的四等分点；当点 P在点 M 左边时，如图所示，
AP=AM-MP=4-2=2(cm),所以PC=AC-AP=8-2=6(cm),AP=AM,
所以P为线段AM 的中点， P为线段AC的四等分点.
综上,P 为线段 AC 的四等分点,故⑤正确. BM= PC或 故④错误. AP=2cm 或AP=6cm,故③正确. P 为线段 MC 或线段AM的中点,故①正确.
所以判断正确的个数是4.故选 B.
13.答案 2b-a
解析 因为点 E是线段CD的中点，所以DE=CE.因为CE+BD=b,所以BE=BD+DE=BD+CE=b.因为AB=AC+CE+BE=a,所以AC+CE=a-b,所以BD-AC=CE+BD-(AC+CE)=b-(a-b)=2b-a.
14.解析 (1)因为C是AD的中点,
所以
因为BE=CD,所以BE=2,
所以DE=AB-(AD+EB)=4.
(2)设BE=x,则DE=x+1,AD=2EB=2x,
由 AD+DE+EB=AB,
可得2x+x+1+x=10,
解得 所以
15.解析 (1)因为AB=24,AC: BC=3:1,所以当点 C在线段AB上时，
(2)当点 C在线段AB上时，如图，
因为AB=24,AC:BC=3:1,
所以
又因为M，N分别是AC，BC的中点，
所以
所以MN=CM+CN=12.
当点 C 在线段AB的延长线上时，如图，
因为AB=24,AC:BC=3:1,
所以
所以BC=AC-AB=12,
因为M,N分别是AC,BC的中点,
所以
所以MN=CM-CN=12.
综上所述，线段MN的长为12.
素养提优
16.解析 (1)①设出发x秒后,PB=2AM,则AP=2x,PB=AB-AP=24-2x,
∵M为AP的中点,∴AM=PM=x,
∵PB=2AM,∴24-2x=2x,
解得x=6,
∴出发6秒后,PB=2AM.
②设AM=y,则MB=AB-AM=24-y,PB=AB-AP=24-2y,
∴2MB-BP=2(24-y)-(24-2y)=24,
∴2MB-BP为定值.
(2)如图,
设AP=2a,则BP=AP-AB=2a-24,
∵M为AP的中点,∴AM=PM=a,
∵N为BP 的中点,∴PN=a-12.
∴①MN=PM-PN=a-(a-12)= 12,长度不变;
②AM+PN=a+a-12=2a-12,长度变化.
∴①MN的长度不变,正确,MN=12.

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