资源简介

初三限时训练质量监测 数学试卷
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．点 A、B在坐标系中的坐标分别为 A 1,3 、B 2,4 ，将线段 AB平移得到线段 CD，点
A的对应点 C坐标是 2, 1 时，点 B的对应点 D的坐标是（ ）
A． 1,5 B． 4,5 C． 1,0 D． 5,6
3．下列各式中，无论 x取何值，分式都有意义的是（ ）
A 1． 2 B
1
． C 3x+1． D x．
x +3 2x+1 x2 2x 1
4．下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．(x+y)(x y)=x2 y2 B．x3 x=x(x+1)(x 1)
C．m2 9+3m=(m+3)(m 3)+3m D 1．m2+m=m2 1+
m
5．小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：
a+b, x y ,x+y,a b,x2 y2,a2 b2，分别对应“深”，“爱”，“我”，“圳”，“相”，“信”六个字，现将
x2 y2 a2 x2 y2 b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．相信我爱 B．我爱深圳 C．相爱深圳 D．相信深圳
6 x
2 9 x
．已知 A= 2 ÷ ，则下列判断正确的是（ ）x +6x+9 x+3
A A x 3． 的计算结果为 B．当 x= 3时，A=2
x
C．当 07．如图，下列图形都是由边长相等的等边三角形和菱形按照一定的规律拼接而成的，其中
第①个图形由 10个等边三角形和 1个菱形组成，第②个图形由 14个等边三角形和 2个菱形
组成，第③个图形由 18个等边三角形和 3个菱形组成，以此类推，第 100个图形里等边三
角形的个数是（ ）
A．400 B．402 C．404 D．406
初三限时训练 数学试卷 第 1 页 共 6 页
8．如图，点 P是平行四边形 ABCD内任意一点，过点 P作 EF∥AB交 AD于 E、BC于 F，
作 GH∥AD交 AB于 G、CD于 H，已知平行四边形 GBFP、EPHD的面积分别为 5和 8，则
平行四边形 PHCF与 AEPG的面积和为 16时，△PBD的面积为（ ）
A 21．2 6 B．5 C．3 3 D．
4
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
9．化简： b 2 3 ab 2 4=________．
10．已知实数 a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简 a2 a b 2 a c 2 b c 2
的结果是_______．
11．如图，在矩形 ABCD中，AB=8，AD=6，在 AB和 AD上分别有点 M、N，
连 CM、CN、CA．点 B关于 CM的对称点 H，点 D关于 CN的对称点 G，若
H、G刚好落在对角线 AC上，则 MN的长为___________．
12．在平面直角坐标系中，已知 A 1,0 ，B 1, 2 ，C 2, 2 ，若四边形 ABCD
是平行四边形，则点 D的坐标是________．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的顶点 A 2,1 ，C 8,3 ，且 AB∥x轴，直线 l:y=3x+b
（b为整数）与线段 CD交于点 E，当线段 DE上有 3个整点（包含线段端点）时，b的值
为_________．
初三限时训练 数学试卷 第 2 页 共 6 页
三、解答题（本大题共 7 小题，共 61 分）
3 x+3 ≥2x+7①
14．（6分）解不等式组 6 2x >0 并将其解集在数轴上表示出来．②
3
15 1 1 x 3．（7分）先化简，再求值： ÷ 2 ，其中 x=1．x 2 x+2 2x 8
16．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC=20 cm，BC=8 5 cm，其中 BD是 AC边上的高，
点 G从点 A出发，沿 AC方向匀速运动，速度为 3 cm/s．同时点 E由点 B出发，沿 BA方向
匀速运动，速度为 1 cm/s，过点 E的直线 EF∥AC，交 BC于点 F，连接 EG，设运动时间为
t s 0(1)线段 BE=__________cm，AG=__________cm（用含 t的代数式表示）；
(2)求 AD的长；
(3)当 t为何值时，以 E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形？
初三限时训练 数学试卷 第 3 页 共 6 页
17．（8分）网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多
果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱 70元售价进行销售时，平均一天可
以卖出 100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚 26元，另外打包用的纸箱子是 2元/
个，每天的直播推广费用为 300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低 1
元时，就会多售出 10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价．
(1)设降价 x元，则每天可以售出 箱？（用含 x的代数式表示）
(2)若果农们想要每天纯利润达到 2550元，那么每箱的售价应该定为多少？
18．（10分）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为 k:1（k为正整数），这样的直角
三角形称为“ k型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不
写做法，保留作图痕迹）
(1)如图 1，已知 Rt△ABC是“ 2型三角形”，其中 AC且 BD=BC，过点 D作 DE⊥AC于点 E，连接 BE，求证：Rt△BCE是“ 3型三角形”．
(2)如图 2，已知 Rt△ABC是“ k型三角形”（k为正整数），其中 AC直尺和圆规在 Rt△ABC中作出一个 Rt△BCE，使得 Rt△BCE是“ k+1型三角形”．（其中
∠C=90°，CE初三限时训练 数学试卷 第 4 页 共 6 页
19．（10分）新定义：已知关于 x的一元二次方程a 21x +b1x+c1=0的两根之和x1+x2与两根之
积，x x 21 2分别是另一个一元二次方程a2x +b2x+c2=0的两个根，则一元二次方程
a x22 +b 22x+c2=0称为一元二次方程a1x +b1x+c1=0的“再生韦达方程”，一元二次方程
a 21x +b1x+c1=0称为“原生方程”．
比如：一元二次方程x2 2x 3=0的两根分别为x1=3,x2= 1，则x1+x2=2,x1 x2= 3，所以它的“再
生韦达方程”为x2+x 6=0．
(1)已知一元二次方程x2 5x+6=0，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”x2+x 30=0，求它的“原生方程”．
初三限时训练 数学试卷 第 5 页 共 6 页
20．（12分）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养
动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”
这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点 D为边 AB上一点，连接 CD．
初步探究
（1）如图②，若∠ACD=∠B，求证：AC2=AD AB；
尝试应用
（2）如图③，在（1）的条件下，若点 D为 AB的中点，CB=4，求 CD的长；
创新提升
（3）如图④，点 E为 CD的中点，连接 BE，若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD，AC=8 3，
直接写出 BE的长．
初三限时训练 数学试卷 第 6 页 共 6 页初三限时训练质量监测 数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．点、在坐标系中的坐标分别为、，将线段平移得到线段，点的对应点坐标是时，点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，分别对应“深”，“爱”，“我”，“圳”，“相”，“信”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．相信我爱 B．我爱深圳 C．相爱深圳 D．相信深圳
6．已知，则下列判断正确的是（ ）
A．的计算结果为 B．当时，
C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或
7．如图，下列图形都是由边长相等的等边三角形和菱形按照一定的规律拼接而成的，其中第①个图形由10个等边三角形和1个菱形组成，第②个图形由14个等边三角形和2个菱形组成，第③个图形由18个等边三角形和3个菱形组成，以此类推，第100个图形里等边三角形的个数是（ ）
A．400 B．402 C．404 D．406
8．如图，点是平行四边形内任意一点，过点作交于、于，作交于、于，已知平行四边形、的面积分别为和，则平行四边形与的面积和为时，的面积为（ ）
A． B．5 C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．化简：________．
10．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______．
11．如图，在矩形中，，在和上分别有点，连．点关于的对称点，点关于的对称点，若刚好落在对角线上，则的长为___________．
12．在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若四边形是平行四边形，则点D的坐标是________．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线（为整数）与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的值为_________．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（6分）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．
15．（7分）先化简，再求值：，其中．
16．（9分）如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为．
(1)线段__________，__________（用含的代数式表示）；
(2)求的长；
(3)当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？
17．（8分）网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价．
(1)设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示）
(2)若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？
18．（10分）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹）
(1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”．
(2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，）
19．（10分）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为．
(1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．
20．（12分）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
初步探究
（1）如图②，若，求证：；
尝试应用
（2）如图③，在（1）的条件下，若点为的中点，，求的长；
创新提升
（3）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长．初三限时训练质量监测 数学试卷
参考答案
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B B A D A
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
b29． （或a 4b24 ）a
10． a+2b 2c
11 5 13．
3
12． 4,0
13． 9或 10或 11
三、解答题（本大题共 7 小题，共 61 分）
3 x+3 ≥2x+7①
14．解： 6 2x>0②
3
由①得：x≥ 2，
由②得：x<3，
则不等式组的解集为 2≤x<3．
15 1 1．解： ÷ x 3 ，
x 2 x+2 2x2 8
= (x+2) (x 2) 2(x 2)(x+2) ，
(x 2)(x+2) x 3
= 4×2，
x 3
= 8 ，
x 3
当 x=1 8时， 原式= = 8 = 4．
1 3 2
16．（1）解：∵点 E由点 B出发，沿 BA方向匀速运动，速度为 1cm/s，
∴线段 BE=tcm
∵点 G从点 A出发，沿 AC方向匀速运动，速度为 3cm/s，
∴AG=3tcm；
初三限时训练 数学试卷 参考答案 第 1 页 共 5 页
（2）解：如图，过点 A作 AH⊥BC于点 H，
∵AB=AC=20 cm，BC=8 5 cm，AH⊥BC，
∴BH=CH=4 5 cm，
2
∴在 Rt△ABH中，AH= AB2 BH2= 202 4 5 =8 5 cm ，
∵BD⊥AC，
1 1
∴S△ABC= AC BD= BC AH，2 2
BD= BC AH∴ = 8 5×8 5 =16 cm ，
AC 20
∴在 Rt△ABD中，AD= AB2 BD2= 202 162=12 cm ；
（3）解：∵EF∥AC，
∴当 EF=DG时，以 E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形，
∵AB=AC，EF∥AC，
∴∠ABC=∠C，∠EFB=∠C，
∴∠ABC=∠EFB，
∴EF=EB=t cm ，
∵AD=12cm，AG=3tcm，
∴DG= 12 3t cm，
∴t= 12 3t ，解得 t=3或 6，
∵0∴t=3，
∴当 t=3时，以 E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形．
17．（1）解：由题意，可知：降价 x元，则每天可以售出 100+10x 箱；故答案为： 100+10x ；
（2）解：设降价 x元，
由题意，得： 26 2 x 100+10x 300=2550，解得：x1=5,x2=9，
∴70 5=65元或 70 9=61元，答：售价应该定为 65元或 61元．
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18．（1）证明：因为 Rt△ABC是“ 2型三角形”，
BC
所以 = 2．
AC
设 AC=x，则 BD=BC= 2x，
所以 AB= AC2+BC2= 3x，
因为 DE⊥AC，
所以∠AED=∠C=90°，
所以 DE∥BC，
CE
所以 = BD
AC AB
BD AC
所以 CE= = 2x x = 6 x，
AB 3x 3
BC
所以 = 3，
CE
所以 Rt△BCE是“ 3型三角形”；
（2）解：因为 Rt△ABC是“ k型三角形”，
BC
所以 = k．
AC
设 AC=m，则 BD=BC= km，
因为∠C=90°，
所以 AB= AC2+BC2= k+1m，
因为 DE⊥AC，
所以∠AED=∠C=90°，
所以 DE∥BC，
CE BD
所以 =
AC AB
CE= BD AC = km m k所以 = m，
AB k+1m k+1
BC
所以 = k+1，
CE
所以 Rt△BCE是“ k+1型三角形”．
19．（1）解：解x2 5x+6=0
得x1=2,x2=3，
则x1+x2=5,x1 x2=6，
所以一元二次方程x2 5x+6=0的“再生韦达方程”为x2 (5+6)x+5×6=0，
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即x2 11x+30=0；
（2）解x2+x 30=0得x1= 6,x2=5，
令它的“原生方程”两根分别为y1,y2，
则y1+y2= 6,y1 y2=5，或y1+y2=5,y1 y2= 6．
当y 21+y2= 6,y1 y2=5，则所求“原生方程”为y +6y+5=0；
当y1+y2=5,y1 y2= 6，则所求“原生方程”为y2 5y 6=0．
综上所述，它的“原生方程”为y2+6y+5=0 或y2 5y 6=0．
20．解：（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
AD
∴ = AC，
AC AB
∴AC2=AD AB；
（2）设 AD=m，
∵点 D为 AB的中点，
∴AD=BD=m，AB=2m，
由（1）得，AC2=AD AB=2m2，
解得 AC= 2m或 AC= 2m（不符合题意，舍去）
由（1）得△ACD∽△ABC，
CD
∴ = AD = AC CD，即 = AC= 2m = 2，可得 CD= 2 BC，
BC AC AB BC AB 2m 2 2
∵BC=4，
∴CD= 2BC=2 2，
2
∴CD的长是 2 2；
（3）如图，取 BD的中点 M，连接 CM，EM，
∵点 E为 CD的中点，
∴EM是△BCD的中位线，
∴EM∥CB，
又∵∠CDB=∠CBD=30°，
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∴CD=CB，∠EMD=∠CBD=30°，
∴CM⊥BD，∠ADC=∠BME=180° 30°=150°
∵∠ACD=∠EBD，
∴△ACD∽△EBM，
BM
∴ = BE，
CD AC
∵CD=CB，
BM = BE∴ ，
BC AC
∵∠CMB=90°，∠CBM=30°，
∴BC=2CM，
由勾股定理可得，BM= BC2 CM2= 3CM，
BM
∴ = 3 BE 3，即 = ，
BC 2 AC 2
∴AC=8 3，
3
∴BE= AC=12，
2
∴BE的长是 12．
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