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专项突破3 平方根概念相关的解题技巧
练方法
方法 1 利用被开方数的非负性求值
当a>0时，a的平方根是： 当a=0时，a的平方根是0.被开方数a是非负数.
1.「2026福建泉州期中」若x,y都是有理数,且y= 则 xy的平方根是 ( )
A.4 B.±4 C.6 D.±6
2.若 则 等于 ( )
A.1 B.5 C.-5 D.-1
3.若x，y都是有理数，且 则xy的值是 ( )
A.0 B.
C.2 D.不能确定
4.已知
(1)求x和y的值.
(2)求x 的值.
5.若 求 的值.
方法 2 利用正数的两平方根互为相反数求值
当 a>0时，a的平方根是
6.「2026绍兴嵊州期中」若一个正数的两个平方根分别为4-m和2m-11,则这个正数是 ( )
A.7 B.49 C.3 D.9
7.中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国华里司的《代数术》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可任以何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法.若一个正数的两个平方根分别是2m-3和4-m，则这个正数是 ( )
A.25 B.9 C.16 D.5
8.如果a+3和2a-15是某个非负数的平方根，那么这个数是 ( )
A.49 B.441
C.7或21 D.49或441
9.已知a+5与2a-11是正数m的两个不相等的平方根.
(1)求a的值.
(2)求这个正数m的值.
10.已知正数a的两个平方根分别是x-5和2x-1， 与 互为相反数，求a+2b的值.
方法3 利用算术平方根的非负性求值
若 则a=0，b=0.特别是当问题涉及绝对值、平方和算术平方根的组合时，这一性质同样适用，即若干个非负数的和为零，则它们分别为零.
11.若 则x 的平方根是( )
A.-3 B.3 C.±3 D.2
12.若a,b为有理数,且|a-1|与 互为相反数，则
13.若m,n为有理数,且(m+ 则 的值为 .
14.已知
(1)求x,y,z的值.
(2)求4x-2y+3z的算术平方根.
方法 4 利用算术平方根的最小值求值
当a=0时, 的值最小，为0.换句话说，的最小值是0.
15.当x的值为 时, 的值最大，这个最大值为 .
16.当 的值最大时，x的值为 .
17.(1)当a的值为 时, 的值最小，最小值为 .
(2)当a的值为 时, 的值最大，最大值为 .
方法5 巧用平方根定义解方程
将方程转化为等号的左边是一个含x的式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如 或 m(m≥0)，然后利用平方根的定义得到 或 进而得到原方程的解.
18.利用平方根的定义解方程：
专项突破3 平方根概念相关的解题技巧
1. D 因为 有意义,所以x-4≥0,4-x≥0,所以x=4,所以y=9,所以 xy=4×9=36,36的平方根是±6.故选 D.
2. D 因为 有意义,所以x-2与2-x均为非负数,又x-2与2-x互为相反数,故x-2=0,2-x=0,所以x=2,所以y=-3,所以
3. C 因为 和 都有意义，所以2x-1≥0且1-2x≥0,所以 且 所以 所以y=4,所以 故选 C.
4.解析 (1)由题意得 所以 所以y=3.
(2)由(1)得 y=3,所以
5.解析 因为x-1与1-x均为非负数,且x-1与1-x互为相反数,所以x-1=0,1-x=0,所以x=1,所以y+2=0,所以y=-2,所以
6. D因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以4-m+2m-11=0,解得m=7,所以这个正数为 故选 D.
7. A因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以2m-3+4-m=0,解得m=-1,所以这个正数为 故选A.
8. D 题中没有强调a+3和2a-15 是某个非负数的两个不同的平方根，故需分类讨论：
(1)这两个平方根相同,故a+3=2a-15,所以a=18,所以a+3=21,
(2)这两个平方根互为相反数,故a+3+2a-15=0,所以a=4,所以a+3=7,
所以这个数是49或441.故选 D.
9.解析 (1)因为a+5与2a-11是正数m的两个不相等的平方根,所以a+5+2a-11=0,解得a=2.
(2)由(1)得a=2,所以 即m的值为49.
10.解析 因为正数a的两个平方根分别是x-5 和2x-1,所以x-5+2x-1=0,所以x=2,
所以x-5=-3,2x-1=3,所以a=9,
因为 与 互为相反数，
所以.
因为b-3与3-b均为非负数，且b-3与3-b互为相反数,所以b-3=0,3-b=0,所以b=3,所以a+2b=9+2×3=9+6=15.
11. C 因为 且 0，所以 且 所以x+3=0,y-2=0,即：x=-3,y=2,所以 因为9 的平方根为±3，所以x 的平方根是±3.故选C.
12.答案 -1
解析 因为|a-1|与 互为相反数，所以|a-1|+ 因为|a-1|≥0, 所以|a-1|=0且 所以a-1=0,b+2=0,即a=1,b=-2,所以
13.答案 1
解析 因为m，n为有理数，且 所以m+4=0,n-5=0,解得m=-4,n=5,
所以
14.解析 (1)因为 所以=0,(y+3) =0,=0,所以x-1=0,y+3=0,x+y+z=0,所以x=1,y=-3,z=2.
(2)因为x=1,y=-3,x=2,
所以4x-2y+3z=4×1-2×(-3)+3×2=16,
所以4x-2y+3z的算术平方根为
15.答案 0;1
解析 因为 所以当x=0时,4- 的值最大，最大值为
16.答案 3
解析 当 的值最大时，
所以3-x=0,所以x=3.
17.答案 1 (2)-2;2
解析 (1)因为 所以 所以 的最小值为1，此时2a+1=0，解得
(2)因为( 所以
所以 的最大值为2，此时 解得a=-2.
18.解析 (1)因为
所以
所以
(2)因为
所以
因为
所以x=±12.
(3)因为
所以x-1=±6,
所以x=7或x=-5.
(4)因为
所以
所以 或
(5)因为
所以2x+1=±2,
所以 或

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