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4.3 整式
基础提质
知识点1 单项式
1.下列式子：①abc;②x+ ;③ a;④- x+y;⑤5; 其中单项式的个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(1) 的次数是 .
(2)单项式 的系数是 ，次数是 .
3.请写出一个只含有m，n两个字母的单项式，要求系数为-5，次数为4，这个单项式可以是 .
4.找出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数与次数.
3ab-2a-1.
知识点2 多项式
5.在 (1-30%)m,,2a-b中,多项式有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.多项式 的次数为 ( )
A.5 B.3 C.2 D.1
7.下列说法正确的是( )
A. 的系数是-2 B. 的次数是6
C. 是多项式 D. 的常数项为1
知识点 3 整式
8.「2025杭州西湖期中」在式子 0, π, ， ,m +2m+1,中，整式有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.关于整式的概念，下列说法正确的是 ( )
A. 的系数是
B.3 xy 的次数是5
C.0是单项式
D. 是五次三项式
10.指出下列各式中的单项式、多项式和整式：
能力提升
11.多选「2026上海金山期中改编」下列语句正确的是 ( )
A.一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的系数
B.有限个单项式求和得到的代数式叫作整式，单项式也是整式
C.单项式就是一次式
D.一个五次整式与一个五次整式的和是一个次数不大于五次的整式
12.「2025甘肃武威五中期中」已知关于y的多项式 与 的次数相同，那么-5n 的值是 ( )
A.80 B.-80
C.-80或-54 D.-45或-20
13.有长为l的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成长方形园子，园子的宽为a.
(1)如图1，园子的长为 ，园子的面积为 .(用含l，a的代数式表示)
(2)如图2，若在园子的四个角修建半径均为b的四分之一圆的花圃(阴影部分)，其余区域铺设草坪.
①求草坪的面积.(用含l，a，b的代数式表示)
②当l=80,a=22,b=10时,草坪的面积是多少 (π取3.14)
14.已知多项式( 是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上A，B两点表示的数分别为a，b.
(1)填空:a= ,b= .
(2)若数轴上有一点 C，点C 到点 A 的距离(记作AC)是点 C 到点 B 的距离(记作 BC)的2倍,即AC=2BC,求点 C 在数轴上表示的数n的值.
15.已知 是关于x的多项式,其中m,n为整数,且|m|>2.
(1)若该多项式是一个二次二项式，求m+n的值.
(2)若该多项式是一个三次三项式，求m-n的值.
(3)若该多项式是一个四次三项式，求mn的值.
素养提优
16.核心素养成分定义：f(x，y)是关于x，y的多项式，如果f(x,y)=f(y,x),那么f(x,y)叫作“对称多项式”.例如： 则f(y,x)= 显然.f(x,y)=f(y,x),所以f(x,y)= 是“对称多项式”.
(1)试说明 是“对称多项式”.
(2)请写出一个“对称多项式”:f(x,y)= (不多于四项).
(3)如果f (x,y)和f (x,y)均为“对称多项式”，那么 一定是“对称多项式”吗 如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请举例说明.
4.3 整式
基础提质
1. B 根据单项式的定义可知①abc,③ a,⑤5是单项式,共3个.故选 B.
易错警示 (1)单项式中不含加法运算，只含字母与字母或数与字母的乘法(包括乘方)运算.
(2)含有分母，且分母中含有字母的式子都不是单项式.
2.答案 (1)3 (2) π;4
解析 的次数是1+1+1=3.故答案为3.
的系数是 次数是字母x和y的指数之和，x的指数为1，y的指数为3，因此次数为1+3=4.故答案为- π;4.
3.答案 (答案不唯一)
4.解析 5x, ,-y ,-2 y ,πxy是单项式，5x的系数是5，次数是1； 的系数是 次数是7； 的系数是-1，次数是5； 的系数是 次数是2；πxy的系数是π，次数是2.
5. C 多项式有(1-30%)m,2a-b,共2个.故选 C.
6. D 中第一项为常数项，第二、三项都是一次项，故多项式 的次数为1.故选 D.
7. C 的系数是 故 A 错误.
B.3 ab 的次数是1+3=4,故B错误.
C.根据多项式的定义知， 是多项式，故C正确.
的常数项为-1，故D 错误.故选 C.
8. C 式子0, ,x+2,m +2m+1符合整式的定义，是整式；式子 的分母中含有字母，不是整式.
故整式有4个.故选 C.
9. C 的系数是 原说法错误；
B.3 xy 的次数是1+2=3,原说法错误;
C.0是单项式，原说法正确；
是三次三项式，原说法错误.故选C.
10.解析 属于单项式的有①②③；
属于多项式的有⑤⑦⑨；
属于整式的有①②③⑤⑦⑨.
能力提升
11. BD A.一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数，故该选项不正确；
B.有限个单项式求和得到的代数式叫作整式，单项式也是整式，故该选项正确；
C.单项式并不一定是一次式，故该选项不正确；
D.一个五次整式与一个五次整式的和是一个次数不大于五次的整式，故该选项正确.
故选 BD.
12. D 当m=0时 次数为2；当m≠0时, 的次数为3.多项式 的次数为n，因为多项式 与 的次数相同，所以当m=0时,n=2,则 当m≠0时,,n=3,则 所以 的值是-45 或-20.故选 D.
13.解析(1)l-2a;a(l-2a).
②当l=80,a=22,b=10时,
所以草坪的面积是478.
14.解析 (1)-10;20.
(2)点A 到点 B的距离记作AB，分两种情况：
当点C在点A，点B之间时，如图1，
因为AC=2BC,AB=20-(-10)=30,
所以AC=20,所以n=-10+20=10;
当点 C在点B 右侧时，如图2，
因为AC=2BC,AB=30,
所以AC=60,所以n=-10+60=50.
综上可知，点C 在数轴上表示的数 n的值为10或50.
15.解析 (1)由题意得,m-3=0,-(n-4)=0或m-3=0,m+n=0,解得m=3,n=4或m=3,n=-3,
所以m+n=7或m+n=0.
(2)由题意得,|m|=3,m-3≠0,解得m=-3,当-(n-4)=0时,n=4,此时m+n=1,则m-n=-3-4=-7;
当m+n=0时,n=3,此时-(n-4)x=x,
则m-n=-3-3=-6.
综上可知,m-n的值为-7或-6.
(3)由题意得,|m|=4,m-3≠0,-(n-4)=0,m+n≠0或|m|=4,m-3≠0,m+n=0,-(n-4)≠0,
解得m=4,n=4或m=4,n=-4.
当m=4,n=4时, mn=4×4=16;
当m=4,n=-4时, mn=4×(-4)=-16.
综上,mn的值为16或-16.
素养提优
16.解析 (1)因为 所以 所以f(x,y)=f(y,x),
所以 是“对称多项式”.
(答案不唯一)
不一定是“对称多项式”.
理由：令f (x,y)=x+y,f (x,y)=-x-y,则 不是多项式.

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