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山东省枣庄市市中区2025-2026学年七年级期末学业质量监测 数学试题
一、单选题
1．小华书写时不小心把墨水滴在了等式“ ”中的运算符号上，则被覆盖的符号是（ ）
A． B． C． D．
2．下列标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．任意买一张电影票，座位号是单号
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是
5．如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（ ）

A．20° B．25° C．30° D．50°
6．学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，下列条件中，添加后仍不能判定△△的是（　　）
A． B．
C． D．
8．从长度分别为2，3，5，6的四根细木棒中，任取三根首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），所围成的三角形最小周长为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．14
9．如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是（ ）
A．120° B．110° C．140° D．130°
10．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，，则＝_____ ．
12．如图，，点在线段上，若，，则的长为_________．
13．若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______．
14．如图，将一长方形纸片沿折叠，已知，则的度数为______．
15．游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点点时开始计时，摆锤相对地面的高度随时间变化的图象如图3所示．摆锤从点出发再次回到点需要_______秒．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．先化简，再求值：，其中，．
18．如图，的点关于某直线的对称点为．
(1)在图中用尺规作出直线，（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)画出关于直线的对称图形；（保留作图痕迹）
(3)在直线上找一点，使的长最短．
19．本市中考体育项目，排球已经列入考核范围，为了应对广大考生的需求，桓台某文体店打算从某厂采购一批排球．为保证商品质量，该文体店对该厂排球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
随机抽取的排球数
优等品数
抽到优等品的频率
(1)上表中的______，______；
(2)根据上表，在这批排球中任取一个，它为优等品的概率大约是______；（精确到）
(3)该文体店共需采购大约多少个排球，才能使本次采购中有个优等品？
20．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系．
骑行时间 … 0.5 3 4 …
离家的距离 … …
(1)东东_________小时到达离家最远的地方，此时离家_________；
(2)根据图象，完成表格；
(3)求出第时东东骑自行车的路程与时间的关系式；
(4)骑行多长时间时，东东与家相距？
21．如图，在中，平分，为延长线上一点，为上一点，且，延长交于点．试说明：．
22．为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案：
课题 测量水池两端、之间的距离
测量示意图
步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可．
数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题：
(1)以上两位同学方案可行的是________的方案；
(2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由．
23．【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形的顶点E与正方形的中心重合．在正方形绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？
【初步思考】如图2，先考虑特殊情况，当正方形旋转到边与垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为________
【深入探究】当正方形旋转到如图1所示位置后，请你求出此时两个正方形重叠部分的面积；
【拓展应用】将n个边长都为的正方形按如图3所示的方式摆放，，，，，分别是正方形的中心，请你直接写出n个这样的正方形重叠部分的面积之和．
24．定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．
(1)如图1，，，，请在图中画出“和谐分割线”，与一边交于点，则_________是等腰三角形，底角为______度．
(2)如图2，在中，线段是的“和谐分割线”，若是等腰三角形，，求的度数．
参考答案
1．D
解：∵a6÷a2＝a6﹣2＝a4．
故选：D．
2．D
解：A、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；
B、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；
C、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；
D、是轴对称图形，符合题意，选项正确；
故选：D．
3．B
解：将用科学记数法表示为．
故选：B．
4．D
解：A选项，掷一枚硬币，正面朝上，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意；
B选项，任意买一张电影票，座位号是单号，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意；
C选项，射击运动员射击一次，命中靶心，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意；
D选项，根据三角形内角和定理，同一平面内任意三角形的内角和一定是，是一定会发生的事件，是必然事件，符合题意.
5．C
解：∵，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
故选C．
6．B
解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个，
∴获奖的概率为；
故选：B．
7．C
解：A、由判定△△，故A不符合题意；
B、由判定△△，故B不符合题意；
C、和分别是和的对角，不能判定△△，故C符合题意；
D、由，，得到，由判定△△，故D 不符合题意．
故选：C．
8．C
解：①长度分别为3、5、6，能构成三角形，且周长为3+5+6=14；
②长度分别为2、5、6，能构成三角形，且周长为2+5+6=13；
③长度分别为2、3、6，不能构成三角形；
综上所述，所围成的三角形最小周长为13．
故答案为：C．
9．B
解：过D点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
10．B
解：如图，连接，
∵于点D，且D为线段的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴平分，即，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．
解：，，
．
12．2
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2 ．
13．或
解：，
∴，，
∴，，
当6为底边长时，腰长为4，
，则能组成三角形，
此时，该等腰三角形的周长为；
当4为底边长时，腰长为6，
，则能组成三角形，
此时，该等腰三角形的周长为；
综上，该等腰三角形的周长为或．
14．/72度
解：由题意得，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
故答案为：．
15．8
解：由题意可知，从最高点A运动到另一侧的最高点需要4秒，
所以从另一侧的最高点返回点A也需要4秒，
所以摆锤从A点出发再次回到A点需要8秒．
16．(1)9
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
17．
解：
，
当，时，原式．
18．(1)
(2)
(3)
19．(1)，
(2)
(3)个
【详解】（1）解：表中的，；
（2）根据上表，在这批排球中任取一个，它为优等品的概率大约是；
（3）（个），
答：该文体店共需采购大约个排球，才能使本次采购中有个优等品．
20．(1)2；30
(2)
骑行时间 … 0.5 3 4 …
离家的距离 … 5 25 20 …
(3)
(4)骑行或时，东东与家相距
【详解】（1）解：从图象知：东东出发后到达离家最远的地方，此时离家；
（2）略
（3）解：第小时的速度： （km/h），
所以，．
（4）解：去时：当时，代入得：，．
出发至返回途中：由图可知骑行4h时，东东与家相距也为20km，
所以当骑行或时，东东与家相距．
21．解：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴．
【详解】略
22．(1)小涵
(2)见解析
【详解】（1）解：∵小涵的方案可以证明，即，而小宇的方案无法证明，也就不能证明，
∴小涵同学方案可行．
（2）解：小涵同学方案可行，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
故小涵同学方案可行．
23．初步思考：；深入探究：；拓展应用：
【详解】解：初步思考：如图，连接，设交点为，
∵正方形的顶点E与正方形的中心重合，
∴点为的交点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴，
故答案为：；
深入探究：过点分别作，垂足分别为，设交点，
∵正方形的顶点E与正方形的中心重合，
∴点到的距离相等，即，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
，
，
∴，
同理初步思考得：，
故答案为：；
拓展应用：由初步思考和深入探究得：
重叠部分面积为，
重叠部分面积为，
重叠部分面积为，
；
重叠部分面积为，
则n个这样的正方形重叠部分的面积之和为．
24．(1)；；
(2)的度数为或．
【详解】（1）解：作的平分线交于点，图略；
，，
，
，
在中，，
的三个内角与的三个内角相等，
，
∴，
是等腰三角形，
是“和谐分割线”；
（2）解：如图，分三种情况：
①当时，，
∵是的“和谐分割线”，
∴
∴；
②当时，
∵，
∴，
∵是的“和谐分割线”，
∴，
则，
∴；
③当时，，则，
那么（舍去），
故的度数为或．

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