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2025-2026学年内蒙古赤峰市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.设，是两个不同的平面，是直线，且“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知直线：和直线：，若，则( )
A. B. C. D.
4.若棱长为的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.在道试题中有道代数题和道几何题，每次从中随机抽出道题，抽出的题不再放回，则在第次抽到几何题的条件下，第次抽到代数题的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知数列的通项公式，前项和为，则项数为( )
A. B. C. D.
7.函数的零点个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知随机变量服从正态分布，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是( )
A. 数列的公差 B. 数列的通项公式
C. 数列的前项和 D. 数列是公比为的等比数列
10.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法中就有出现如图所示，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是( )
A. 三角形的两个腰上的数字都是
B. 在第行中，从左到右第个数字是
C. 第行所有数字之和为
D. 在第行所有数字中，从左到右第个数字最大
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 当时，函数的极大值点为
B. 当时，函数在上的值域为
C. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
D. 存在实数使函数的图象是轴对称图形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为 ．
13.已知复数是关于的方程的一个根，则 ．
14.如图，在棱长为的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
函数其中，的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
在中，角，，的对边分别为，，，若，，且的面积为，求．
16.本小题分
某校学生会积极组织该校学生参与“日行万步”的活动，界定日行参数不足千步的为“不健康生活方式者”，不少于千步的人为“超健康生活方式者”，其余为“一般生活健康方式者”该校学生会随机抽取了本校名学生，统计他们的日行步数，已知步数均没超过千步，按步数分为、、、、，、单位：千步七组，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，求这名学生日行步数的第百分位数；
学生会准备从样本的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中采取分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的人中“超健康生活方式者”的人数为，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，在中，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使．
求证：平面；
若点满足，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知曲线上的动点与点，点的距离的和等于．
求曲线的标准方程；
直线：与曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于点，，为坐标原点，若的面积为，求实数的值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数在处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若有两个极值点分别为，，且在上不单调记为的导函数，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】因为，，所以，
又因为，则，所以，翻折后，，
又因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面

18.【答案】
或
19.【答案】
，在单调递增；，在、单调递增，在单调递减；，在、单调递增，在单调递减；证明：有两个极值点分别为，，且在上不单调，
由结论得，两个极值点，，因为，
所以，
则，
要证不等式等价于证明，即证，
令，，
仅当时取等号，则在单调递增，于是，
则成立，不等式得证
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