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2025-2026学年山西大学附属中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知偶函数的定义域为，则“在上有最小值”是“在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.若变量，线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是( )
A. B.
C. D.
6.某次团员公益志愿活动中，需安排名志愿者去甲、乙、丙个活动场地配合工作，每个活动场地去名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 除以所得的余数是 D.
8.不等式对任意恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，，则注：若，则，
A. B.
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
11.已知甲盒中仅有个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
放入个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为______．
13.甲、乙、丙、丁、戊共人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有 用数字作答
14.已知函数的定义域为，，为奇函数，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品已知甲平台向一用户推送的概率为，推送的概率为，同时推送和的概率为；乙平台向该用户推送的概率为，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响．
在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率；
求这两个平台至少向该用户推送、、中的一种的概率．
16.本小题分
一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的组观测数据如表：
温度
产卵数个
经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中，分别为观测数据中的温度和产卵数，，，，，，．
Ⅰ若用线性回归模型，求关于的回归方程精确到；
Ⅱ若用非线性回归模型求得关于的回归方程为，且相关指数．
试与Ⅰ中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好．
用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数结果取整数．
附：一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；相关指数．
17.本小题分
如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置出发，每次向左或向右移动一个单位向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动次后质点位于位置．
求随机变量的概率分布列及和；
当时，指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．
18.本小题分
已知函数，其中．
若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值；
若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
若，，对任意的，恒成立，求的最小值．
19.本小题分
乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“局胜制”和“局胜制”，“局胜制”指局中胜局的一方取得胜利，“局胜制”指局中胜局的一方取得胜利．
甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知在某个赛季甲、乙两人采用两种赛制各共进行了场比赛，在不同赛制下甲、乙两人的胜负情况如下表请先将下面的列联表补充完整，然后根据小概率值的独立性检验，分析不同赛制是否对甲获胜有影响．
甲获胜 乙获胜 合计
局胜
局胜
合计
若甲、乙两人采用局胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为，没有平局记事件“甲只要取得局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为，事件“若不执行局胜制的提前结束规则，打满全部局，甲至少取得局比赛胜利”为，试证明：．
甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小．
参考数据：，，
附：，其中．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】．
14.【答案】
15.【答案】；
．
16.【答案】解：Ⅰ依题意，，，
，
关于的线性回归方程为；
Ⅱ 利用所给数据，，得，
线性回归方程
的相关指数．
，
因此，回归方程比线性回归方程拟合效果更好；
由 得温度时，，
又，
个，
所以当温度时，该种药用昆虫的产卵数估计为个．
17.【答案】
，
质点最有可能位于或的位置，理由如下：
由知，，，
则，其中，，，，，
令，即，
解得，
所以当为或时，最大，即最大，
所以质点最有可能位于或的位置
18.【答案】或
19.【答案】如图，
甲获胜 乙获胜 合计
局胜
局胜
合计
当时，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为赛制对甲获胜有影响，此推断犯错误的概率不超过；当时，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为赛制对甲获胜无影响
证明：由题意，
，
，
综上，，得证

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