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2025-2026学年安徽省亳州市蒙城县第一中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.一组数据：，，，，的第百分位数是( )
A. B. C. D.
3.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则( )
A. B. C. D.
4.已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知是偶函数，且，当时，，则等于( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两位旅游博主准备周末去，，，这个景点中的某一个景点打卡，事件表示甲、乙至少有人去景点，事件表示甲、乙去相同的景点，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于，两点若，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的最小正周期为，则( )
A. B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称 D. 在上单调递增
11.如图，在纸片中，，，且的面积为，取边的中点，在该纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，以此类推得到纸片，，，，设的周长为，面积为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某班人含学生甲站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为 ．
13.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ．
14.已知某球恰好与圆台的上下底面及侧面都相切，若该圆台的上底面半径为，母线长为，则该圆台外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，求的面积．
16.本小题分
如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的列联表如下表所示：
种制造工艺 种制造工艺 合计
合格
不合格
合计
补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？
在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取件，从这件产品中随机抽取件产品进行不合格原因检查，设这件产品中来自种制造工艺的有件，求的分布列及期望．
附：，其中．
18.本小题分
如图，椭圆：的一个焦点为，且过点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若为垂直于轴的动弦，直线：与轴交于点，直线与交于点．
(ⅰ)求证：点恒在椭圆上；
(ⅱ)求面积的最大值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若在上的最大值为，求的值；
若，恒成立，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】证明：取的中点为，连接，．
因为，分别是，的中点，所以．
在正方体中，，又为的中点，
所以，四边形是平行四边形，．
又平面，平面，所以平面．

17.【答案】
种制造工艺 种制造工艺 合计
合格
不合格
合计
认为产品是否合格与制造工艺有关 的分布列为，，，，；
18.【答案】Ⅰ．
Ⅱ证明详情见解答．
．
19.【答案】
或

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