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5.2等式的基本性质
基础提质
知识点1 等式的基本性质
1.「2026金华东阳月考」已知a,b,c为有理数,若a=b,则下列变形不一定正确的是 ( )
A. a+3=b+3 B.3-a=3-b
C. ac= bc
2.下列等式变形正确的是 ( )
A.如果m+k=n+k,那么m=n
B.如果|m|=|n|,那么m=n
C.如果 mk= nk,那么m=n
D.如果m=n,那么
3.把方程3x+y=4 改写成用含x的代数式表示y，则y= .
4.已知x，y都是整数，将下列各小题中的等式变形，然后填空.
(1)如果x+y=0,那么x= ,依据是 ，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数 .
(2)如果 xy=1,那么x= ,依据是 ，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数 .
(3)如果x=-y,那么x+ =0,依据是 ，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 .
(4)如果 那么x =1，依据是 ，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 .
5.能不能由(a+3)x=b-1得到等式 为什么 反之，能不能由 得到(a+3)x=b-1 为什么
知识点 2 利用等式的基本性质求方程的解
6.方程2-x=1的解是x=( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
7.已知x=3是关于x的方程2x+5a=16的解,则a的值是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.-2
8.(1)方程5-x=-2的解为 .
(2)方程 的解为 .
9.利用等式的基本性质解方程：
(1)4x-1=2x+3.
能力提升
10.( 多选 )a，b，c三种物体质量关系如图所示，若在天平一边放物体a，另一边放物体c，并使天平保持平衡，则可行的方案是( )
A.一边放4个物体a，另一边放9个物体c
B.一边放6个物体a，另一边放9个物体c
C.一边放6个物体a，另一边放4个物体c
D.一边放8个物体a，另一边放18个物体c
11.已知a,b,c,m都是有理数,且a+2b+3c=m,a+b+2c=m,那么b与c的关系是( )
A.互为相反数 B.互为倒数
C.相等 D.无法确定
12.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，示例如图1，即4+3=7.请根据图2回答下列问题.
(1)m= ,y= .(用含x的式子来表示)
(2)当x=-2时,计算y的值.
13.在将等式3x-2y=2x-2y 变形时，小明的变形过程如下：因为3x-2y=2x-2y,所以3x=2x,(第一步)所以3=2.(第二步)
(1)上述过程中，第一步的依据是什么
(2)小明第二步的结论正确吗 请说明原因.
素养提优
14.观察下列两个等式：
给出定义如下：我们称使等式a-b=2ab-1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为(a,b),如:数对 都是“同心有理数对”.
(1)数对(-3,1),(3, )是“同心有理数对”的是 .
(2)若(a,4)是“同心有理数对”,求a的值.
(3)若(m，n)是“同心有理数对”，试判断数对(-n，-m)是不是“同心有理数对”，请说明理由.
5.2等式的基本性质
基础提质
1. D 对于a=b,两边同时加3,得a+3=b+3,故A 选项不合题意;两边同时乘-1,再加3,得3-a=3-b,故B选项不合题意；两边同时乘c，得ac=bc，故C选项不合题意；两边同时除以一个不为0的数，结果仍相等，因此 不一定正确，故D 选项符合题意.故选 D.
2. A 等式m+k=n+k两边同时减k,得m=n,故A 正确;等式|m|=|n|,那么m=n或m=-n,故B错误;当k≠0时,等式 mk= nk两边同时除以k,得m=n,故C 错误；当k≠0时，等式m=n两边同时除以k，得 故D错误.故选 A.
3.答案 -3x+4
解析 根据等式的性质1，等式3x+y=4的两边都减3x,得y=-3x+4.
4.答案(1)-y;等式的性质1;互为相反数 等式的性质2；互为倒数(3)y；等式的性质1；0(4)·y:等式的性质2;1
5.解析 不能由(a+3)x=b-1得到 理由:当a=-3时,a+3=0,而0不能为除数,即不符合等式的性质2.
由 可以得到(a+3)x=b-1.
理由：等式两边同时乘(a+3)，所得结果仍是等式.
6. C【解法一】根据等式的性质1，方程两边都减去2，得-x=-1，根据等式的性质2，方程两边都除以-1，得x=1.故选 C.
【解法二】将4个选项逐一代入验证.当x=3时，2-x=2-3=-1≠1;当x=2时,2-x=2-2=0≠1;当x=1时,2-x=2-1=1;当x=-1时,2-x=2-(-1)=3≠1.故选C.
7. A 把x=3代入方程2x+5a=16,得6+5a=16,根据等式的性质1，方程两边都减去6，得5a=10，根据等式的性质2，方程两边都除以5，得a=2.故选 A.
8.答案 (1)x=7 (2)x=-4
解析(1)根据等式的性质1，方程两边都减去5，得-x=-7，根据等式的性质2，方程两边都除以-1，得x=7.
(2)根据等式的性质1，方程两边都减去2，得 1，根据等式的性质2，方程两边都乘-4，得x=-4.
9.解析(1)根据等式的性质1，方程两边都减去2x，得2x-1=3，根据等式的性质1，方程两边都加上1，得2x=4，根据等式的性质2，方程两边都除以2，得x=2.
(2)根据等式的性质1，方程两边都减去 x，得 =0，根据等式的性质1，方程两边都加上2，得 根据等式的性质2，方程两边都除以 ,得x=3.
能力提升
10. AD 由题意得,3b=2a,2b=3c,3b=2a两边都除以3,得 两边都除以2，得 所以 等式两边都除以 ，得 所以天平一边放4个物体a，另一边放9个物体c或一边放8个物体a，另一边放18个物体c时保持平衡.
11. A 因为a+2b+3c=m,a+b+2c=m,所以a+2b+3c=a+b+2c,所以b+c=0,即b与c互为相反数.
12.解析(1)由题意可得m=x+2x=3x,n=2x+3,y=m+n=3x+2x+3=5x+3.故答案为3x;5x+3.
(2)当x=-2时,y=5x+3=5×(-2)+3=-7.
13.解析(1)第一步的依据是等式的性质1.
(2)小明第二步的结论不正确.理由如下：
当x=0时，等式的两边都除以x，等式不成立，所以小明第二步的结论不正确.
易错警示应用等式的性质2时，忽视等式两边不能同除以0而致错.
素养提优
14.解析
(2)因为(a,4)是“同心有理数对”,
所以a-4=2a×4-1,即7a=-3,
所以
(3)(-n,-m)是“同心有理数对”.
理由：因为(m，n)是“同心有理数对”，
所以m-n=2mn-1,
因为-n-(-m)=m-n,
2×(-n)×(-m)-1=2mn-1,
所以-n-(-m)=2×(-n)×(-m)-1,
所以(-n,-m)是“同心有理数对”.

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