资源简介

6.7 角的和差
基础提质
知识点1两角的和差
1.「2026杭州十三中阶段考」如图,已知∠AOB=90°,在∠AOB 内部引一条射线OC,若∠AOC=35°30',则∠BOC 的度数为 ( )
A.64°70' B.64.5° C.54°70' D.54.5°
2.如图，一束光线AO 照射到玻璃表面DE时，发生了折射和反射现象,已知∠AOK=∠BOK=45°,∠KOE=90°,∠EOC=70°，则反射光线与折射光线形成的∠BOC 的度数为 .
3.若∠AOB =65°,∠AOC=15°,则∠BOC= .
4.「2026金华东阳期末」如图,直线 CD 过点 O,且∠BOC=2∠AOC,若∠AOB =87°,则∠BOD =
5.如图，已知∠α，∠β，用量角器作∠α+∠β.
知识点2 角的平分线
6.如图,∠AOB=20°,∠BOC=80°,OE 是∠AOC 的平分线,则∠COE 的度数为( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
7.如图，点A，O，B在同一条直线上,∠AOC=3∠COD,OE 平分∠BOD,若∠COD=10°,则∠COE 的度数为 .
8.「2025杭州钱塘阶段考」如图，O为直线AB上一点，∠AOC=60°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.
(1)求∠BOD 的度数.
(2)试判断OE 是否平分∠BOC，并说明理由.
能力提升
9.如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，若∠1+∠2=65°，则∠3的度数为 ( )
A.35° B.25° C.20° D.15°
10.如图，一副三角尺(∠BAC=∠ADE=90°,∠C=45°,∠E=30°)按如图所示位置摆放时,恰有∠CAE=3∠BAD,则∠CAD的度数为 ( )
A.100° B.102° C.105° D.120°
11.如图，已知射线 OM,ON 分别平分∠AOB,∠COD,若∠MON=α,∠BOC=β,则∠AOD= ( )
A.2α B.2α-β C.α+β D.α-β
12.定义：从角的顶点出发的两条射线将角平均分成三份，则称这两条射线为角的三等分线.如图，已知∠AOB=120°,∠BOC=30°,若 OM 为∠AOB 的三等分线,则∠MOC 的度数为 .
13.「如图,点O 是直线AE上的一点,OC 是∠AOD的平分线,
(1)若∠BOD=20°,求∠BOC 的度数.
(2)若∠BOC=n°,用含有 n的代数式表示∠EOD 的度数.
素养提优
14.【问题提出】
(1)如图1,点A,O,B在一条直线上,OC是一条射线,OE 平分∠AOC,OF 平分∠BOC,则∠EOF= .
【问题探究】
(2)如图2,点A,O,B不在一条直线上,OC 是∠AOB 内的一条射线,OE 平分∠AOC,OF平分∠BOC,判断∠AOB 与∠EOF 的数量关系，并说明理由.
【问题拓展】
(3)如图3,当OA是∠BOC 内的一条射线时,OE平分∠AOC,OF 平分∠BOC,判断(2)中∠AOB 与∠EOF 的数量关系是否仍然成立，请说明理由.
6.7 角的和差
基础提质
1. D ∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-35°30'=54°30'=54.5°.
2.答案 115°
解析 因为∠KOE=90°,∠BOK=45°,所以∠BOE=∠KOE-∠BOK=45°,因为∠EOC=70°,所以∠BOC=∠BO.OE+∠EOC=45°+70°=115°.
3.答案 50°或80°
解析 当射线 OC在∠AOB 内部时,∠BOC=∠AOB-∠AOC=65°-15°=50°;当射线 OC 在∠AOB 外部时,∠BOC=∠AOB+∠AOC=65°+15°=80°.综上,∠BOC的度数为50°或80°.
4.答案 122°
解析 因为∠BOC=2∠AOC,所以∠AOB=3∠AOC,所以∠AOC=87°÷3=29°,所以∠BOC=2∠AOC=58°,所以∠BOD=∠COD-∠BOC=180°-58°=122°.故答案为122°.
5.解析 用量角器量得∠α=66°,∠β=30°,∴ ∠α+∠β=96°.用量角器作∠AOB=96°,则∠AOB 就是所求作的角(如图).
6. A 因为∠AOB =20°,∠BOC = 80°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°,因为OE是∠AOC 的平分线,所以 故选 A.
7.答案 80°
解析 ∵∠COD=10°,∠AOC=3∠COD,
∴ ∠AOC=30°,
∴ ∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=140°,
∵OE平分∠BOD,
∴ ∠COE=∠DOE+∠COD=70°+10°=80°.
8.解析 (1)因为∠AOC=60°,OD 平分∠AOC,所以 则∠BOD= 180°-∠AOD=150°.
(2)OE平分∠BOC.
理由:因为∠DOE=90°,∠DOC=30°,所以∠COE=∠DOE-∠DOC = 90°-30°= 60°.又因为∠BOE =∠BOD-∠DOE = 150°-90°= 60°,所以∠COE =∠BOE,即 OE平分∠BOC.
能力提升
9. B ∠3=90°-∠1+(90°-∠2)-90°=90°-(∠1+∠2)= 90°-65°=25°.故选 B.
10. C 设∠BAD =x°,则∠CAE =3x°,由于∠BAE=∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠EAC,
所以60-x=90-3x,
解得x=15,∴∠BAD=15°,
∴ ∠CAD=∠BAC+∠BAD=90°+15°=105°,故选 C.
11. B 因为∠MON=α,∠BOC=β,
所以∠BOM+∠CON=∠MON-∠BOC=α-β,
因为射线OM,ON分别平分∠AOB,∠COD,
所以∠AOB=2∠BOM,∠COD=2∠CON,
所以∠AOB+∠COD=2(∠BOM+∠CON)=2(α-β),
所以∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC=2(α-β)+β=2α-β.故选 B.
12.答案 50°或10°
解析 分两种情况：
①如图，当 时，
因为∠AOB=120°,
所以
因为∠BOC=30°,
所以∠MOC=∠AOB-∠AOM-∠BOC=120°-40°-30°=50°;
②如图，当 时，
因为∠AOB=120°,
所以
因为∠BOC=30°,
所以∠MOC=∠BOM-∠BOC=40°-30°=10°.
综上所述,∠MOC 的度数为50°或10°.
易错警示本题易因没有对 OM 的位置进行分类讨论而漏解.
13.解析
∴∠AOD=20°×3=60°,
∵OC是∠AOD的平分线,
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=30°-20°=10°.
(2)设∠BOD=x°,则∠AOD=3x°,∵OC 是∠AOD 的平分线，
∵∠BOC=∠COD-∠BOD,
∴∠EOD=180°-∠AOD=180°-6n°.
素养提优
14.解析(1)因为点A,O,B在一条直线上,所以∠AOB=180°,因为 OE 平分∠AOC,OF 平分∠BOC,所以 所以∠EOF= 故答案为90°.
(2)∠AOB=2∠EOF.理由如下:
因为OE平分∠AOC,OF 平分∠BOC,所以∠AOC=2∠COE,∠BOC=2∠COF,所以∠AOB=2∠COE+2∠COF=2(∠COE+∠COF)=2∠EOF.
(3)∠AOB=2∠EOF 仍然成立.理由如下:
因为OE平分∠AOC,OF 平分∠BOC,所以∠AOC=2∠COE,∠BOC=2∠COF,所以∠AOB=∠BOC-∠AOC=2∠COF-2∠COE=2(∠COF-∠COE)=2∠EOF.

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