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江苏宿迁市2025-2026学年下学期七年级期末学业水平监测数学
一、单选题
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
5．对于命题“如果，那么”．用反证法证明，应假设（ ）
A． B． C． D．
6．我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
7．已知是方程的一组解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．观察图中尺规作图的痕迹，则（ ）
A．平分 B． C． D．
9．如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
10．如图，已知，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，是正方形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________．
14．命题“如果，那么”是_______（填“真”或“假”）命题．
15．若，则代数式的值为_________．
16．如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______．
17．在五角星形中，的度数_______．
18．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是 _________．
19．已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最大值为________．
20．如图，在直角中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，若点为线段的中点，点为线段上一动点．则在旋转过程中，线段的最小值为_____．
三、解答题
21．计算：
(1)
(2)
22．已知x与y互为相反数，且．求x，y的值．
23．证明：三个连续自然数之和能被整除．
24．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
25．已知：如图，平分，点在上，点在的延长线上，交于点，且．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)求证：．
26．为提升学生体育素质，丰富课余活动，某阳光体育学校用元从体育用品专卖店一次性购买三类球共个．已知每个篮球元，每个足球元，每个排球元，且购买足球和排球的数量相同．
(1)求该校购买的篮球、足球、排球各多少个？
(2)该校计划再次从同一体育用品专卖店购买篮球和排球共个，且总费用不超过元，求该校最多可以购买多少个篮球？
27．定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”．
(1)若，，则，的“调和数”_______．
(2)若，，求，的“调和数”；
(3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值．
28．折纸不仅有趣，还蕴含着丰富的数学知识，某数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．如图，在中，，，点是边上一动点，将沿直线翻折后得到．
(1)如图，若，则________．
(2)如图，若点落在的内部（不包含的边），则的取值范围为．
(3)在折叠的过程中，当垂直于某一边时，求的度数．
(4)在折叠的过程中，射线与射线相交于点．若是轴对称图形，直接写出的度数．
参考答案
1．A
【详解】A、方程，含有两个未知数和，并且和的次数都是1，同时它是整式方程，符合二元一次方程的定义，所以该选项正确；
B、方程，其中未知数和的最高次数都是2，不满足二元一次方程中含未知数的项的次数是1这一条件，所以该选项错误；
C、方程，可变形为与是相乘的关系，次数为，不满足二元一次方程的次数要求，所以该选项错误；
D、方程，因为分母中含有未知数，它不是整式方程，而二元一次方程必须是整式方程，所以该选项错误．
故选A．
2．D
解：因为不是同类项，不能合并，所以A，B 不正确，不符合题意；
因为，所以C不正确，不符合题意；
因为，所以D正确，符合题意；
故选：D．
3．D
解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
4．A
解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克，
∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克，
∵，
∴，
故选：A
5．A
解：由于结论的否定为：，
用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，
故应假设，由此推出矛盾．
故选：A．
6．A
解：∵每 3 个一数，数了次，剩余 2 个，
∴物体总数可表示为 ．
又∵每 5 个一数，数了次，剩余 3 个，
∴物体总数也可表示为 ．
由于物体总数是固定的，
∴
故选：A．
7．A
【详解】∵ 是方程 的解，
∴ 将 代入方程得，
∴的值为．
8．D
解：由作图可得：，
故选：D．
9．C
解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
10．C
解∶∵，
∴．
11．B
解：如图，
根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积，
观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成，
∴阴影部分的面积为．
12．C
解：∵是正方形的中心，
∴正方形被两条对角线和两条对边中点连线分成了8个全等的小三角形，
∴绕点顺时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合，绕点逆时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合；
如图，连接与交于点，绕点顺时针旋转与重合，
综上所述，共个．
13．
解：，
故答案为：．
14．假
解：当，时，满足条件，
此时，，可得，不满足命题的结论，
因此该命题是假命题．
15．
解：根据完全平方公式，得 ，
，
移项得 ，
将代入得原式．
16．
解：∵将绕点逆时针方向旋转到，
∴，，
∵点落在边上的点处，
∴，
故答案为：．
17．/180度
解：设与交于点，与交于点，如图，
在中，，
在中，，
在中，，
∴．
18．
解：∵关于的一元一次不等式组有解，
∴，即．
19．
解：∵，，
∴，
∴
∵，，是三个非负数，
∴
解得
∴
∴
∴的最大值为12．
20．
解：∵直角中，，，，
∴，
由旋转的性质可得；
如图所示，连接，
∵，
∴当点D在上时，有最小值，最小值为，
∴当最小时，最小；
如图所示，当时，最小，
此时有，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
21．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
.
22．
解：∵x与y互为相反数，
∴，
∴，
解得：．
23．
证明：设第一个数为（是自然数），则第二个数为，第三个数为，
∴这三个自然数的和
，
∵，
∴三个连续的自然数之和能被整除．
24．，解集在数轴上表示如下：
解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
解集在数轴上表示略．
25．(1)，理由如下：
∵，且，
∴，
∴．
(2)由（1）得，，
，
又∵平分，
∴，
∴．
26．(1)该校购买篮球100个，足球50个，排球50个
(2)该校最多可以购买26个篮球
【详解】（1）解：设购买足球x个，购买篮球y个，则排球购买x个，
由题意得，，
解得，
答：购买足球50个，排球50个，篮球100个；
（2）解：设购买篮球m个，则购买排球个，
由题意得，，
解得，
∵m为整数，
∴m的最大值为26.
答：该校最多可以购买26个篮球．
27．(1)
(2)或
(3)或或
【详解】（1）解：由题意可得，
解得；
（2）解：∵，
∴或，
当时，，
∴，
当时，，
∴；
综上所述，或；
（3）解：由题意可得，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∵，，均为正整数，
∴，
∴将两边同时除以得，
∴，
∴，
∵且，，均为正整数，
∴，，为勾股数组合，
当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意；
当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意；
当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意；
验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或．
28．(1)
(2)
(3)或
(4)或或或
（1）解：∵将沿直线翻折后得到，
∴，
∴；
（2）解：如图，当落在边上时，，
∴，
如图，当落在边上时，，
∵将沿直线翻折后得到，
∴，
综上所述，若点落在的内部（不包含的边），则；
（3）解：∵在中，，，
∴，
∵将沿直线翻折后得到，
∴，
如图，当时，设交于点，
可知，
∴，
∴，
∴，不成立；
如图，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，
∴，
∵将沿直线翻折后得到，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或；
（4）解：∵是轴对称图形，
∴对称轴两边的角相等，
即或或．
∵在中，，，
∴，
∵将沿直线翻折后得到，
∴，
如图，当射线与射线相交于点时，
∴，
若，则，
∴，
∴；
若，可知不存在；
若，可知不存在；
如图，当射线与线段相交于点时，
∴，
若，则，可知不存在；
若，可知不存在；
若，可知不存在；
如图，当线段与线段相交于点时，
设，
若，则，
∵，
∴，
解得：，
∴；
若，
∵，
∴，
解得：，
∴；
若，则，
∵，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的度数为或或或．

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