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2027届高考数学一轮复习专题特训 常用逻辑用语
一、选择题
1．已知,是两个不同的平面,是一条直线,且,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3．,使成立,则( )
A. B. C. D.
4．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“”是“且”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．a，b，c，，且，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．命题“，”的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
7．设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．命题“，”的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
二、多项选择题
9．下列命题中的假命题是( )
A.命题“,”的否定是:,
B.设,则“”是“”的充分而不必要条件
C.若,则的最小值为4
D.
10．对于所有实数x,使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
11．“”的一个充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．能够说明“设a，b，c是任意实数，若，则”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为____________________.
13．根据下述事实，写出一个含有量词的命题是__________.
，
，
，
……
14．“，都有恒成立”是真命题，则实数k的取值范围是____________________.
15．若a，b都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空：
（1）使a，b都不为0的充分条件是____________；
（2）使a，b至少有一个为0的充要条件是____________.
四、解答题
16．设是定义在R上的函数.定义性质P:若对任意,当时,,则称函数具有“性质P”.
（1）判断函数是否具有“性质P”;
（2）若分段函数具有“性质P”,求所有满足条件的实数a和b的解;
（3）已知的值域为,且在上是严格增函数,证明:是偶函数的充要条件是:具有“性质P”.
17．已知函数.
（1）命题,使得成立为假命题,求实数a的取值范围;
（2）当时,不等式有解,求实数a的取值范围.
18．已知,且,且.
（1）求a的值及的单调区间.
（2）若对于,,使得成立,求实数t的取值范围.
19．已知函数在定义域D上的导函数为，对任意实数，定义集合 .
(1)设，求集合；
(2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件；
(3)设，，若对任意且，都有，求实数a的取值范围.
20．已知集合，集合.
（1）求集合A；
（2）若是的必要条件，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由线面垂直的判定定理可知,过一个平面垂线的平面与这个平面垂直,
故“”可以得到“”,充分性得证;
反之,已知两平面垂直,一个平面内的直线可以与另一个平面相交,垂直,平行,
不能得到线面垂直,必要性不成立;
故“”是“”的充分不必要条件.
2．答案：D
解析：由题可知,,根据指数函数单调递增,所以,
当时,,所以不是的充分条件;当时,满足,但,
因此,是的既不充分也不必要条件.
3．答案：C
解析：令,,
令,解得（）,
当时,,在上是单调递减函数,
当时,,在上是单调递增函数,
即函数在时取极小值且为上的最小值,
令,则;,则;
,则,即在上的最大值为,
若使得不等式成立,则即可,
即,解得,即,
即,故选项C正确.
4．答案：A
解析：设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“”，则“且”，反之若“且”，
当时，推不出“”，
∴ “”是“且”的充分不必要条件，选A.
5．答案：A
解析：充分性：因为且，由不等式的性质可得，充分性成立；
必要性：取，，，，则成立，且，但”不成立，必要性不成立.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．答案：D
解析：全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”.
所以命题“，”的否定是“，”.
7．答案：A
解析：因为，可得当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立，所以当时，“”是“”的充分不必要条件.故选A.
8．答案：A
解析：命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：对于A,命题“,”的否定是:,,A正确;
对于B,取,满足,而,则“”不是“”充分条件,B错误;
对于C,取,满足,而,C错误;
对于D,当时,,D错误.
故选:BCD
10．答案：AC
解析：若不等式对于所有实数x恒成立,则,即,
的充分不必要条件可以是的子集,故A、C正确.
11．答案：ACD
解析：由，可得，即，解得或，
则的解集为或，
若找的充分不必要条件对应的集合N，
则N必须满足，且，故A，C，D均正确，B错误.
12．答案：，，（答案不唯一）
解析：因为，，所以，，可验证该命题是假命题.
13．答案：，
解析：观察题中式子可知，一个含有量词的命题是，.
14．答案：
解析：因为，要使“恒成立”，只需，因为的最小值为，即，故答案为.
15．答案：④；①
解析：由题意有：①或，即a，b至少有一个为0；②互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数；③，b为任意实数；④或即a，b都不为0.综上可知，（1）使a，b都不为0的充分条件是④；（2）使a，b至少有一个为0的充要条件是①.
16．答案：（1）没有,理由见解析
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）函数不具有“性质P”,理由如下:
例如当时,显然成立,
,根据指数函数的单调性可知,
所以有,这与“性质P”矛盾,故函数不具有“性质P”;
（2）因为函数具有“性质P”,所以取,有,
于是有,
当时,由,
当时,由,
若,若,则有,
取,
此时,但是,不符合“性质P”,所以不符合题意,
故,此时,
若时,则,
由,
若时,则,
由,
因此,
综上所述:当且仅当时,满足条件;
（3）充分性:若具有“性质P”,则是偶函数.
若存在,,不妨设,
记,即,
因为函数的值域为,
所以,
若,则有,
若,则有,
故对任意,,这与的值域为矛盾,
所以不成立,则有,因此函数是偶函数;
必要性:若是偶函数,则具有“性质P”.
当时,因为在上是严格增函数,
所以,
又因为函数是偶函数,
所以由,因此具有“性质P”.
所以是偶函数的充要条件是:具有“性质P”.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知命题p为假,则恒成立,
当时,,显然在R上不恒成立;
当时,此时为开口向下,故不等式在R上不恒成立;
当时,则,即.
综上,a的取值范围是.
（2）由不等式,即,即.
由恒成立,则在时有解,
即,
设,有,
而在上单调递增,则,
所以,故,所以.
因此,实数a的取值范围为.
18．答案：（1）,函数在上单调递增,在上单调递减;
（2）.
解析：（1）由得,即,
所以,所以,
所以,
因为,所以,故的定义域为;
,
因为函数在上单调递增,在上单调递减,
又函数为增函数,
由复合函数的单调性可得:函数在上单调递增,在上单调递减.
（2）令,
,,使得,即,
其中由（1）知,
又在上单调递增,
,
,.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)由定义得，
而，，，
故解得，，
综上，.
(2)必要性：若函数为偶函数，，
则对任意的，有，
对上式两边同时求导，可得：，
故函数是奇函数，，
若，则，即，
进而有，即，
故对任意，，故必要性成立；
不充分性：不妨取，，
此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立，
综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件.
(3)由对任意且，都有，
可得：对任意且，都有，
即函数在上是不减函数，即恒成立，
由，可得：，
设，
则，
则对恒成立，即对恒成立，
令，，故，
故函数在和是减函数，在是增函数，
大致图像如图，，
(i)当时，不等式可化为，此时，
(ⅱ)当时，不等式可化为，
此时，故；
(ⅲ)当时，不等式可化为，
此时，故；
综上，实数a的取值范围是.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，即，
所以
所以，所以.
（2）若是的必要条件，所以，
，
所以解得.
所以实数m的取值范围是.
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