资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2027届高考数学一轮复习专题特训 导数及其应用
一、选择题
1．函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
2．已知函数，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
3．已知函数，则( )
A.-5 B.1 C.4 D.5
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5．已知函数在处的导数值为1，( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6．设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
7．函数在区间上的平均变化率为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列函数在定义域上为增函数的是( )
A.
B.
C.
D.
10．已知函数，则下列选项正确的是( )
A.在内单调递减
B.当方程有一个实根时，
C.当不等式解集中恰有两个不等的正整数时，
D.当过点可作曲线的两条切线时，
11．若函数的导函数的图象如图所示,则以下正确的是( )
A.
B.是函数的极大值点
C.不是函数的极值点
D.函数在处的切线斜率大于0
三、填空题
12．若，恒成立，则实数a的取值范围为____.
13．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则_____________.
14．曲线在点处的切线方程为____.
15．已知函数.若函数有两个不同的零点,则a的取值范围为__.
四、解答题
16．已知函数，.
（1）求函数在上的最大值；
（2）若函数的最小值为1，求实数a的值；
（3）求证：.
17．已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）若,证明:.
18．已知函数.
（1）若,求的单调区间;
（2）若存在极小值和极大值,求a的取值范围.
19．已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程.
(2)若函数在内不单调，求实数a的取值范围.
20．已知函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）求的解析式;
（2）将的图象向右平移个单位,再将各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标缩短到原来的倍,得到的图象,求的解析式;
（3）设函数,证明:有且只有一个零点,且.
参考答案
1．答案：C
解析：,
令,得,
当和时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以的单调递减区间为.
2．答案：B
解析：，定义域为，
求导： ，
由解析式可知： 单调递减，
令导数，得 ，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，函数取得最大值，
，
所以的最大值为.
3．答案：D
解析：已知函数，则，
根据导数的定义可知，，故D正确.
4．答案：D
解析：由的图象可知：当和时，，
故在，上单调递增，
当和时，，
故在，上单调递减，
所以，选项D正确.
5．答案：A
解析：由导数定义可知，.
6．答案：D
解析：因为，又，所以，所以当时，，所以函数在上单调递增.因为，所以，所以，B错误；因为，所以，所以，D正确；因为，故，又，所以，所以，故，所以，当时，，所以函数在上单调递增.又，所以，所以，所以A不一定正确；因为，所以，所以，设，
则，所以当时，，函数在上单调递增，所以若，则，取，可得当时，，所以当，时，，函数在上单调递减，所以，所以C不一定正确.
7．答案：D
解析：因为，
所以函数在区间上的平均变化率为4.
8．答案：B
解析：因为，所以.
由题意，当时，恒成立.
所以.
由当时，，当且仅当时取等号.
所以.
即a的取值范围为.
9．答案：ABD
解析：对于A,,是定义在R上的增函数,A正确;
对于B,,是定义在R上的增函数,B正确;
对于C,,当时,,
在上单调递减,C错误;
对于D,,是定义在R上的增函数,D正确.
10．答案：AC
解析：函数的定义域为，求导得，
由，得或，由，得，
函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递减，
函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，
对于A，在内单调递减，A正确；
对于B，当时，方程有唯一实根，B错误；
对于C，不等式解集中恰有两个不等的正整数，这两个正整数为1，2，
则，即，因此a的取值范围是，C正确；
对于D，设切点坐标为，切线方程为，
由切线过点，得，整理得，，
当时，解得，即当时，过点与曲线相切的直线只有1条，D错误.
11．答案：CD
解析：由的图象可得,时,单调递减;
时,单调递增;
区间在内,单调递增,故,故A错误;
左右两侧导数均大于0,函数始终递增,故不是极大值点,故B错误;
时导数为0,但左右两侧导数均大于0,故不是极值点,故C正确;
时,导数大于0,即切线斜率,故D正确.
12．答案：
解析：令，
令，则，
，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，也是最小值，，
故只需，解得，
所以实数a的取值范围为
13．答案：-1
解析：变形为，斜率是，设切线的斜率为k，
因为切线与直线垂直，所以，所以，
，则，所以，所以.
14．答案：
解析：由题意，，所以时，，
故切线方程为，即.
故答案为：.
15．答案：
解析：的定义域为,.
当时,,所以在上单调递增,不可能有两个零点,舍去;
当时,在上单调递减,在上单调递增,
因为有两个不同的零点,所以,解得.
当时,,所以在上存在一个零点,
因为,所以在上也存在一个零点.
综上,.
16．答案：（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）由，
可得，
令，可得，因为，所以或；
当时，；当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，
所以在上的最大值为.
（2）由函数，可得，，
则，
当时，，所以在上单调递减，没有最小值；
当时，令，可得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，则.
（3）证明：根据题意，要证成立，
即证成立，
由（2）知当时，，所以，即，
所以，令，，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即成立，
所以原不等式成立.
17．答案：（1）当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
（2）见解析
解析：（1）由题可知,,.
若,,所以在上单调递增,在上单调递减;
若,令,解得或（舍）,
所以在上单调递增,在上单调递减;
若,当,即时,在上恒成立,所以在上单调递增;
当时,令,解得或,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
综上:当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
（2）若,要证,即证,即证.
令函数,则.
令,得;令,得.
所以在上单调递增,在上单调递减,所以,
令函数,则.
当时,;当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增,所以.
因为,所以,
即,从而得证.
18．答案：（1）单调递增区间为;单调递减区间为.
（2）
解析：（1）,
,
令,则,所以的单调递增区间为;
令,则,所以函数的单调递减区间为.
（2）
,
则,
令,则.
①当时,,,在单调递增,
又,且当趋近于时,趋近于,
故存在,使得,
且当时,,,故此时单调递增.
当时,,,故此时单调递减.
则为的极大值点,没有极小值点,不满足题意.
②当时,,
令,解得,此时单调递增.
令,解得,此时单调递减.
故在时取得最大值,最大值为.
若,即,也即时,在恒成立,
则在恒成立,故在单调递减,没有极值点,不满足题意.
若,即,也即时,,
又当趋近于时,趋近于;当趋近于时,趋近于,
故存在,使得,且存在,使得,
故当,,此时,单调递减,
当,,此时,单调递增.
当,,此时,单调递减.
故当时,取得极小值,当时,取得极大值,满足题意.
综上所述,若有极大值和极小值,则.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，因为，
所以，，
所以在处的切线方程为；
(2)由题设知，
当时，，则在内单调递减，不满足；
当时，令，则在内，
所以在内单调递增，要使函数在内不单调，
则在上有变号零点，
又，只需，
综上，a的取值范围是.
20．答案：（1）
（2）
（3）见解析
解析：（1）由及函数图象知,,
又,,
由函数图象可知点在函数图象上,则,
又,,.
（2）函数的图象向右平移个单位后得到函数为,
图象上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标缩短到原来的倍,得到的函数为,
的解析式为.
（3）证明:函数,定义域为,
①当时,函数在上单调递增,
,
,根据零点存在定理,使得,
在上有且只有一个零点.
②当时,单调递增,单调递减,
所以,
,
在上不存在零点;
③当时,单调递增,,
在上不存在零点;
综上所述:有且只有一个零点,且.
,
,,
又在上单调递减,
,
.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑