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2027届高考数学一轮复习专题特训 等比数列
一、选择题
1．已知等差数列的首项为1，是和的等比中项，则( )
A.或1 B.或1 C.1 D.
2．已知数列为等比数列，其中，为方程的两根.则( )
A. B. C. D.
3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第六个单音的频率为f，则第十二个单音的频率为( )
A. B.f C. D.
4．设是等比数列，下列说法一定正确的是( )
A.，，成等比数列 B.，，成等比数列
C.，，成等比数列 D.，，成等比数列
5．已知数列的通项公式为，则数列是( )
A.以1为首项，为公比的等比数列 B.以3为首项，为公比的等比数列
C.以1为首项，3为公比的等比数列 D.以3为首项，3为公比的等比数列
6．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，斜边，过点A作BC边的垂线，垂足为，过点作AC边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推.设，，，…，，则等于( )
A. B. C. D.
7．在等比数列中，若，则( )
A.3 B.2 C. D.
8．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为( )
A. B.2 C.或2 D.3
二、多项选择题
9．若等比数列中，首项为，公比为q，则下列条件中，使数列一定为递减数列的条件是( )
A. B.， C.， D.，
10．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )
A. B. C. D.
11．无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有( )
A.， B.，
C.， D.，
三、填空题
12．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则________.
13．设等比数列的各项均为正数,前n项和,若,,则________.
14．若数列为等比数列，且，是方程的两个根，则_____________.
15．数列满足，，则数列的前8项和______________.
四、解答题
16．已知数列的首项，且满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最小整数n.
17．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则.记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求.
18．已知在等比数列中，，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，设数列满足，，求的前项的和.
19．在棱长为1个单位的正四面体中,一个质点从顶点A出发,每次等可能地沿着棱移动1个单位,移动的方向是随机的.
（1）若质点移动了3次,记其到达点B的次数为X,求;
（2）若质点移动了n次,质点回到A点的概率为.
（i）求数列的通项公式;
（ii）设,证明:.
20．已知等差数列的首项,且,,成等比数列,公差.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,记数列的前n项和为,若不等式对任意的恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：设等差数列公差为d，是和的等比中项，，即，解得，.
2．答案：B
解析：由题，根据韦达定理可得，，则，，由等比数列的等比中项性质可得，所以.因为等比数列的偶数项符号相同，，都是负数，设公比为q，则，所以.
3．答案：D
解析：设第n个单音的频率为，则由题意知数列是等比数列，且公比为，，所以第十二个单音的频率为.
4．答案：D
解析：根据等比数列角标和性质，A项中，故A项说法错误；B项中，故B项说法错误；C项中，故C项说法错误；D项中，故D项说法正确.
5．答案：A
解析：因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.
6．答案：B
解析：依题意，数列的相邻两项，分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即，因此数列是首项，公比的等比数列，，所以.
7．答案：D
解析：由等比数列的性质可知，又，所以.
8．答案：B
解析：由，，可得，，显然，所以，即，解得或，当时，；当时，.又，则.
9．答案：CD
解析：若，则等比数列是摆动数列；若，则等比数列是常数列；当且时，.对于A，若，则当时，等比数列是摆动数列，故A错误；对于B，若，，则当时，等比数列是摆动数列，故B错误；对于C，当，时，，即，等比数列是递减数列，故C正确；对于D，当，时，，即，等比数列是递减数列，故D正确.
10．答案：ABC
解析：设数列是公比为q的等比数列，则，对于选项A，因为，所以数列为等比数列，故A正确；对于选项B，因为，所以数列为等比数列，故B正确；对于选项C，因为，所以数列为等比数列，故C正确；对于选项D，若等比数列公比，则，即，此时数列不是等比数列，故D错误，故选ABC.
11．答案：BC
解析：，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值；，时，等比数列为摆动数列，此时为最大值，为最小值；，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，所以等比数列有最大值，也有最小值；，时，因为，所以奇数项为负数无最小值，偶数项为正数无最大值.
12．答案：
解析：因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为q，
所以，，
由得，即，
解得或（舍），
所以.
13．答案：15
解析：由题意,设等比数列的公比为q(正数),则,
即,所以,
所以.
由题知,所以.
所以.
故答案为:15.
14．答案：-2
解析：由题意得，，，故，，
因为为等比数列，所以，解得，
又因为，，所以与同号，即，
故.
故答案为：-2.
15．答案：502
解析：因为，所以，易知，故，
又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为，则，
所以数列的前8项和
.
16．答案：（1）证明见解析
（2）1000
解析：（1）证明：因为，所以，
所以.
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
所以.
令，易知单调递增.
因为，，
所以满足条件的最小整数为1000.
17．答案：(1)0.6
(2)
(3)
解析：(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件，“第i次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
(2)设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，，所以是首项为，公比为的等比数列，
即，.
(3)因为，，
所以当时，，
故.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)设等比数列的公比为q，由，，成等差数列，得，
即，而，解得，
所以数列的通项公式为.
(2)由(1)得，
显然数列是等差数列，则，
由，得，
所以
.
19．答案：（1）
（2）（i）;
（ii）见解析
解析：（1）第一次到B,后面两次均不到B的概率为,
第二次到B,第一次和第三次均不到B的概率为,
第三次到B,第一次和第二次均不到B的概率为,
故;
（2）（i）由题意得,,即,
所以,
数列是为首项,为公比的等比数列,
所以,即.
（ii）证明:,
,所以是递减数列,
设,
所以函数在上单调递增,
所以由得,
即,
所以,
则.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d,由题意知.
因为成等比数列,故.
又,所以,,,代入得
展开整理得,即.
由得,因此数列的通项公式为
.
（2）,
数列的前n项和
因为,所以,故,
因此,即的最大值为.
不等式对任意恒成立,等价于,
整理得,即,
解得或.
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