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2025-2026学年山东省青岛第六十八中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，的方差为( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数，对应的点分别是，，则向量对应的复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.向量，共线，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，最长边与最短边之比为，则最小角为( )
A. B. C. D.
5.棱台上下底面均为有一个内角为的菱形，且上下底面边长分别为和，该棱台的体积为，则棱台的高为( )
A. B. C. D.
6.已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
7.从棱长为的正方体上底面的个顶点和下底面的个顶点中分别取一个点，则这个点之间的距离大于的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，是同一个球面上四点，过球心，，则三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机事件，满足：，则( )
A. ，互斥 B. ，对立 C. ，相互独立 D. 为不可能事件
10.已知复数，则( )
A.
B.
C. 对应复平面上的点在直线上
D. 若，则最大值为
11.已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则( )
A.
B. 三棱锥的内切球半径为
C. 的取值范围为
D. 若平面，则使直线与所成角为的点有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平行四边形中，，，为的中点，则 ．
13.斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，且，则二面角的余弦值为 ．
14.已知中，，，，则边上的高的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校从参加高三数学模拟考试成绩中随机抽取个数据，将其适当分组后，画出如下频率分布直方图．
请估计参加高三数学模拟考试成绩的分位数；
用按比例分配的分层随机抽样的方法将成绩落在内的数据中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取个数据，求至少有个数据落在内的概率．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，．
求；
若，求的面积．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，，，，分别为，，，的中点．
证明：平面；
若．
证明：平面平面；
求与平面所成角的最大值．
18.本小题分
在中，，为边边的中点，若在方向上的投影向量的模为．
求；
若点，在所在平面内，，．
证明：点为的重心；
记，，中的最小值为，求的取值范围．
19.本小题分
盒中有个标号为，，，的小球，小球除标号外均相同，每次不放回的随机取一个球，在取球过程中的某一时刻，若取得奇数号球与偶数号球个数相等，则称为出现了一次“巧遇”．
当时，求取球两次就出现“巧遇”的概率；
记“取出个球后，第一次出现巧遇”，，，，，“第一次取到的是奇数号球”．
证明：；
求取球过程中至少一次出现“巧遇”的概率．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】分

16.【答案】
或
17.【答案】证明：因为，，，分别为，，，的中点，
于是，，
所以，又平面，平面，
所以平面
证明：因为，是中点，所以，
在中，，
所以，
因为，分别为，的中点，
所以，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
18.【答案】
证明：因为，所以，
因为为边边的中点，所以，即，
所以点在中线上，同理：点在其他中线上，
所以点为的重心；
19.【答案】
要证明，根据条件概率公式，
可得，．
因为，
所以只需证明．
表示在取出个球后第一次出现“巧遇”的条件下，取出的是奇数号球的概率；表示在取出个球后第一次出现“巧遇”的条件下，取出的是偶数号球的概率．
在取出个球后第一次出现“巧遇”，说明在取这个球的过程中，奇数号球和偶数号球的个数相等．
那么在这个球中，奇数号球和偶数号球各有个．
此时剩下的球中，奇数号球和偶数号球的个数也相等，
所以下一次取球时，取到奇数号球和偶数号球的概率相等，即．
因此，得证．

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