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2027届高考数学一轮复习专题特训 等差数列
一、选择题
1．记等差数列的前n项和为，且，，记为的前n项和，则( )
A. B. C. D.
2．已知数列的首项，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为( )
A.24294 B.24296 C.24298 D.24300
4．在等差数列中，，，则( )
A.2 B.1 C. D.
5．设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为( )
A.8 B.10 C.12 D.20
6．在等差数列中,前四项之和为20,最后四项之和为60,前n项之和是100,则项数n为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
7．已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则( )
A.11 B.13 C.15 D.17
8．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第n项，则的值为( )
A.5049 B.5050 C.5051 D.5101
二、多项选择题
9．定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有( )
A. B.数列的前n项和
C.数列是等差数列 D.数列的前n项积
10．若数列前n项和为，满足，其中，则称是数列，则下面选项正确的是( )
A.若，则是数列 B.若，则是数列
C.数列是等差数列 D.数列是等比数列
11．是等差数列的前n项和,,则下列结论一定正确的是( )
A. B.当时,取最大值
C. D.
三、填空题
12．记为数列的前n项和,若,则______.
13．正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，，，.前n项和为，则的值为______________.
14．已知等差数列的前n项和为,满足.则_________.
15．已知等差数列与等比数列都是无穷递增数列,给出下列四个结论:
①不存在数列与,使得是递减数列;
②存在数列与,使得是递增数列;
③不存在数列与,使得同时有无穷个正项和无穷个负项;
④存在数列与,使得恰好出现三个为1的项.
其中正确结论的序号是_____.
四、解答题
16．已知数列，满足，，且，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
17．已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数k的个数，求数列的前n项和；
（3）在（2）的条件下，，若不等式对都成立，求实数的取值范围.
18．记，其中，数列满足.
（1）证明：数列是等差数列，并求；
（2）求数列的前n项和.
19．已知为等差数列，记，分别为数列，的前n项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
20．设，已知，，成等差数列.
(1)求n；
(2)求；
(3)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，求r的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：设，则解得所以，所以，所以.
2．答案：A
解析：因为，，易知，所以，即.又，所以，故是以3为首项，4为公差的等差数列，则，故，所以.
3．答案：C
解析：被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成首项为10，公差为的等差数列，所以，则.
4．答案：C
解析：由题意可得①，，
此时显然，由①可得，
代入②得
即，
整理得，解得或-75（舍），故.
5．答案：A
解析：由，，
又，
则，，
又时，，则.
则，
则.
令.
故选：A
6．答案：B
解析：依题意,,所以.
7．答案：A
解析：由，得，则，所以，又，所以.故选A.
8．答案：B
解析：由题意得，，，……观察规律可得，所以.
9．答案：ACD
解析：对于A：对于，令，得，代入，解得，故A正确；
对于C：将两边同除以，得，且，因此是以1为首项，1为公差的等差数列，故，故C正确；
对于B：由C可知，，故，其前n项和，故B错误；
对于D：由B可知，，其前n项积，故D正确.
10．答案：BCD
解析：对于A，由可得，等式两边同时取倒数，可得，所以，所以是数列，故A错误；对于B，由可得，所以，即有，所以是数列，故B正确；对于C，已知数列，则有，当时，，，两式相减得，又，所以，即，整理得，又，所以，所以是等差数列，故选项C正确；对于D，因为数列是数列，所以，所以，.当时，（ⅰ），（ⅱ），（ⅰ）（ⅱ）可得，因为，所以，所以，整理可得，又，所以是等比数列，故选项D正确.
11．答案：AD
解析：对于A,因为,所以,
根据等差数列的性质,若,则,
所以,即,故,A正确;
对于B,设等差数列的公差为d,由A选项可知,,
则,所以,所以,
所以,
当时,无最大值,故B错误;
对于C,,
又,所以,C错误;
对于D,,
,所以,故D正确;
故选:AD
12．答案：
解析：当且时,,
,
又,即,
数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
.
13．答案：384
解析：正项数列成等比数列的后7项的首项为，设公比为q，则，而，解得，于是，，显然，所以.
14．答案：
解析：由得:.
由得:;
由得:,
令,则为奇函数,
又,所以在上单调递增.
所以,
,
所以,所以,
所以.
故答案为:.
15．答案：①②③
解析：因为等差数列与等比数列都是无穷递增数列,
则,
则,
所以数列是递增数列,不存在数列与,使得是递减数列,①正确;
设等差数列公差为d,等比数列公比为q,
则,
显然可以成立,
如当时,即,
所以存在数列与,使得是递增数列,②正确;
由①数列是递增数列,所以最小项为,
由等差数列性质,
若恒成立,则由等比数列是无穷递增数列得,
则一定存在,使得,则当时,,
则有无穷个正项和有限个负项,
所以不存在数列与,使得同时有无穷个正项和无穷个负项,③正确;
因为为一次型函数增长模型,为指数型增长模型,
由一次函数与指数函数图像特征可知,一次函数与指数函数至多只有两个交点,
所以不存在数列与,使得恰好出现三个为1的项,④错误.
故答案为:①②③
16．答案：(1)，
(2)
解析：(1)因为，且，，即，
可知数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
又因为，可得，
且，可知数列是等比数列，首项为3，公比为3，
所以，即.
(2)由(1)可知：，
则，
因为，
令，则，
两式相减得，
可得，
所以.
17．答案：（1）证明见解析，
（2）
（3）
解析：（1）证明：，，即.
又，为等差数列，其首项为1，公差为1，
，.
（2）由得，
，
满足不等式的正整数k的个数为，
，，
①，
②，
得，
.
（3）由已知可得，
当n为奇数时，.
数列为递增数列，
当时，取最小值，此时；
当n为偶数时，.
数列为递减数列，
当时，取最大值，此时，
且，解得.
因此，实数的取值范围为.
18．答案：（1）证明见解析，
（2）
解析：（1）证明：因为，所以，
则，所以.
因为，所以当时，，
所以，代入，得，
两边同时除以并整理，得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，
所以，即.
（2）由（1）得，
所以
，
所以
，
即.
19．答案：（1）
（2）当n为偶数时，；当n为奇数时，
解析：（1）设等差数列的公差为d，
则，，，
则解得，，
所以，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，.
所以当n为偶数时，；当n为奇数时，.
20．答案：(1)8
(2)
(3)3
解析：(1)由题意可得，即，
化简可得，解得（不符合题意，舍去）或，
所以；
(2)令得，，
令得，，
所以，
(3)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，
即，即，则，
所以，解得，
因为r为整数，所以r的最小值为3.
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