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2027届高考数学一轮复习专题特训 等差数列与等比数列综合应用
一、选择题
1．设，记不超过x的最大整数为，如，，令，则，，三个数构成的数列( )
A.是等比数列但不是等差数列 B.是等差数列但不是等比数列
C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列
2．已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为( )
A. B. C. D.1
3．设有四个数的数列为，，，，前三个数构成一个等比数列，其和为k；后三个数构成一个等差数列，其和为9，且公差非零.对于任意固定的k，若满足条件的数列的个数大于1，则k应满足( )
A. B. C. D.其他条件
4．定义在的函数满足，且当时，.设在上的最大值为，其数列的前n项积为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为( )
A.11小时 B.13小时 C.17小时 D.19小时
6．已知等差数列中，是它的前n项和，若，，则当最大时，n的值为( )
A.8 B.9 C.10 D.16
7．在等比数列中，,是方程的两根，则( )
A.1 B.-1 C. D.
8．已知等差数列满足,,等比数列满足,,则( )
A.32 B.64 C.128 D.256
二、多项选择题
9．数列的前n项和为,则下列说法正确的是( )
A.若,则数列的前5项和最大
B.若等比数列是递减数列,则公比q满足
C.已知等差数列的前n项和为,若,则
D.已知为等差数列,则数列也是等差数列
10．已知集合,,,集合,将集合D中所有元素从小到大依次排列为数列,为数列的前n项和.集合,将集合E的所有元素从小到大依次排列为数列.则( )
A.
B.或2
C.
D.若存在,使,则n的最小值为26
11．设为的单调递增数列，且满足，则下列选项正确的是( )
A.
B.至多有种取值可能
C.
D.（表示大于或等于x的最小整数，表示小于或等于x的最大整数）
三、填空题
12．已知为等差数列，，，且是首项为1，公比为q的等比数列，则的前n项和____________________.
13．如图,将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列,,,…构成一个公比为2的等比数列,从第2行起,每一行都是一个公差为d的等差数列,若,则________.
14．设、、…、是各项不为零的等差数列，，且公差，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为__________________
15．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，.则数列___________.
四、解答题
16．设为等差数列，为等比数列，且.
（1）求和的通项公式；
（2）记的前n项和为，求证：
（3）求.
17．对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，那么称它是一个交错数列.规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列.将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为.例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则.
（1）求和的值；
（2）证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为；
（3）记数列的前n项和为，求使得2025成立的n的最小值.
18．设n为正整数，已知首项为2的正项数列满足.
(1)若，求的值；
(2)证明：与为常数列或等比数列；
(3)记的前n项积为.若时，，求的通项公式.
19．知数列的前项和为，若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.
（1）若的前四项依次为0，1，，2，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
（2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
（3）已知的正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明.
20．设是等差数列,其前n项和,是等比数列,且,,.
（1）求与的通项公式;
（2）设,求数列的前项和;
（3）若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，所以.因为，，所以，1，是等比数列，不是等差数列，即，，是等比数列，不是等差数列.
2．答案：D
解析：设等差数列的公差为d，则
，，，
，
，解得，
，即公比为1.
故选：D.
3．答案：D
解析：设，，所成等比数列的公比为q，依题意，，则四个数为，，3，，
因，，所成等差数列公差不为0，即，因此：，整理得，
因满足条件的数列的个数大于1，则关于q的方程有两个不同的实数解，且，
则有，且，即且，
当时，，当时，，即当时，k可以取9，
所以k应满足且.
故选：D.
4．答案：B
解析：由题意，定义在的函数满足，即，
因为当时，，
所以当，函数，
则当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为，
所以，可得，
当时，可得，所以
当时，，可得；当时，，可得，
当时，，可得；
当，时，由指数函数的性质，可得，所以，
即，
所以的最大值为.
故选：B.
5．答案：B
解析：检测第n次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为a，
则数列是首项为a，公比为的等比数列，所以，
令，即，解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为，
故选：B.
6．答案：A
解析：等差数列中，，，
，，
故，，继而，
根据等差数列的性质可知前8项均为正数项，
数列的前8项和最大；
故选：A.
7．答案：B
解析：,是方程的两根,
,
,
.
又，
.
故选：B.
8．答案：B
解析：由,可知数列,,所以,故,.故选B.
9．答案：ACD
解析：选项A,由可得,,故数列前5项的和最大,故A正确;
选项B,当,时,等比数列也是递减数列,故B错误;
选项C,,若,则,故C正确;
选项D,若为等差数列,则,,则(为常数),数列也是等差数列,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：对于A项,易知,
显然当且仅当n取奇数时,可整除3,即此时,故A正确;
对于B项,显然A为所有正奇数组成的集合,B中元素必为偶数,
所以中相邻项为相邻的奇偶数或者相邻的奇数,即或2,故B正确;
对于C项,易知,中有个奇数,的首项,
若的尾项为,则此时中共有项,
所以前项中含有个连续正奇数,n个连续以2为底的正整数指数幂,
所以,
故C正确;
对于D项,结合C项推理易知
,,,,,,,
,
,
显然,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：AC
解析：由
得，，
所以，
因为为的单调递增数列，
所以，
即，
所以，或.
A项，因为，
令，并将代入上式可得，
解得或，
又为的单调递增数列，
故，，故A正确；
B项，由A项知，
要确定的取值，需要2023个步骤：
第1步，由确定有2种选择；
第2步，由确定有2种选择；
；
第2023步，由确定有2种选择，
每一步都有两种选择（要么满足，要么满足.），
故由分步乘法计数原理可知，至多有种取值可能.
考虑到：若，
根据或，
可得或
即或；
可得或或或.
下面用数学归纳法证明：
数列中，任意，，
，
即所有可能的取值有个.
(i)当时，由，
则根据或，
可得或，即或.
即的所有可能取值为个，即当时命题成立；
(ii)假设当时，命题成立，
即，，
，，所有可能的取值有个.
则根据或，
可得
或，
故所有可能的取值为，，
共个.
故当时，命题也成立.
综合(i)(ii)可知，对任意，，
，
即所有可能的取值有个，得证.
由已证命题结论，故的所有可能取值为
，，，共个，故B错误；
C项，，
①若以后各项的确定，每步选择都选（时也满足），
即
对任意恒成立，且，
则是首项为2，公比为2的等比数列，
即，所以；
②若以后各项的确定，每步选择都选，
即对任意，恒成立，
且，
则是首项为2，
公比为2的等比数列，，
即当时，，
所以，，；
③若数列以后各项的确定，
每步都随机选择或两种中的一种，
结合①②可知，不论每步如何选择，
对随着选择变化的任意数列，
都有
对任意，恒成立.
由上结论可知，，，
所以有，
又，
则
，
且当时，.
所以，故C正确；
D项，由，，
则，，
设，
则，
，
故当时，，
当时，；
当时，，
当时，，
所以，故D错误；
故选：AC.
12．答案：
解析：设等差数列的公差为d，则由题意，可得解得所以.由题意，得，所以.当时，，；当时，.综上所述，
13．答案：3
解析：从第2行起,每一行都是一个公差为d的等差数列,
,第n行的项数为,
从第1行到第n行的项数总和为,又,
是第10行第5个数,
,整理得,
.
故答案为:3.
14．答案：
解析：设公差为d，则各项为：，，，…，若去掉第一项，，解得，不合题意；若去掉第二项，，化简得，解得，等比数列不能出现0，不出现等比数列中，即，数对为；若去掉第三项，，化简得，解得，此时数列为，，，，即，数对为；若去掉第四项或以后项，，解得，不合题意；故满足题意的数对只有，.
故答案为：.
15．答案：
解析：是等比数列，且，，公比，且，
即；，解得，
是等差数列，且，，公差，
且，
故答案为：.
16．答案：（1），
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）设的公差为d，的公比为q，则，.
由可得
解得舍去）.
所以，.
（2）证明：因为，
所以要证，
即证，
即证，
即证.
而显然成立，
所以.
（3）
，
所以
设，所以，
则，作差得
，
所以，
所以.
17．答案：（1），
（2）证明见解析
（3）14
解析：（1）当时，取自集合的交错数列有1；3；1，2；1，2，3四种情况，因此.
当时，取自集合的交错数列有1；3；1，2；1，4；3，4；1，2，3；1，2，3，4七种情况，因此.
（2）设数列，，…，是取自集合的交错数列，
因为且是奇数，所以，构造数列，，，2，…，m，则，
此时数列，，…，的个数是取自集合的所有交错数列的个数，
因为数列，，…，是递增数列，所以对于每一个都有且仅有一个与之对应，
所以取自集合的首项不为1的交错数列的个数为.
（3）设数列，，…，是取自集合的交错数列，
由（2）得，当时，所有交错数列的个数为，
当时，若，则仅有一个交错数列；
若，构造数列，，则，
此时数列，，…，的个数是取自集合的所有交错数列的个数，
因为数列，，…，是递增数列，所以数列，，…，与数列，，…，之间一一对应.
又因为，所以数列，，…，的所有交错数列的个数为，
综上所述，.
当时，由
累加得，
因为，所以，
由及（1）得，…，，，，，
显然是递增数列，
因为，，
所以，
所以使得成立的n的最小值为14.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）由可得，，
当时，，即，解得，
令，则.
（2）对两侧同时取以e为底的对数有，
①则，即.
当时，，
此时是恒为0的常数列；
当时，是以为首项，为公比的等比数列；
②也可化为
.
当时，，
此时是恒为0的常数列；
当时，是以为首项，为公比的等比数列.
综上，与为常数列或等比数列.
（3）由（2）可得是以为首项，为公比的等比数列，
则有；
且是以为首项，为公比的等比数列，
则有.
两式相减得，
则
，
由时，，则，
即恒成立，
又当n增大时，会震荡变化且绝对值增大，即会震荡变化，
若使上式恒成立，需满足，所以.
当时，是以为首项，为公比的等比数列，
为常数列，此时，满足条件.
将代入得
所以.
19．答案：（1）不是
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）不是“X数列”，
依题意，，，，，则，，不符合题意，所以不是“X数列”.
（2）由，得当时，；
当时，，
而不满足，因此
令，即，则当时，有，解得；
当时，有，则，而m，，于是，
因此对每一个，有且仅有一个且，使得，
即对任意，有且仅有一个，使得，所以为“X数列”.
记的“余项数列”为，则，
所以的“余项数列”的通项公式为.
（3）记的“余项数列”为，由是正项数列，得递增，则，，
由，且为“X数列”，得，由，得，
因为的“余项数列”为等差数列，所以的公差，
由，得，
若，则当时，，与矛盾，
则，，，即.
当时，若，则，与为正项数列矛盾，
则，，
因此当时，，
，
即.
又，，
则，，而，所以.
20．答案：（1）,
（2）
（3）.
解析：（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
由,,又,,,
由,,又,,,
,,
即,.
（2）当n为奇数时,,
记,则有
,
,
得:
,
,
,
当n为偶数时,,
记,
,
.
（3）由与恒成立,
可得恒成立,
恒成立,即求的最大值,
设,
,
单调递增,
又,
,
.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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