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2027届高考数学一轮复习专题特训 函数的应用
一、选择题
1．若，则函数的两个零点分别位于区间( )
A.和内 B.和内
C.和内 D.和内
2．用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
4．下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A.用二分法可以求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C.二分法无规律可循
D.只有在求函数零点时才用二分法
5．方程的一个根所在的区间为，则k的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
6．已知二次函数有两个零点，则k的取值范围是( )
A. B. C.且 D.且
7．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x 1 2 3
6.1 2.9 -3.5
那么函数一定存在零点的区间是( )
A.
B.
C.
D.
8．在下列区间中，方程的实数解所在的区间为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知函数，则( )
A.在定义域上单调递增
B.曲线上任意一点处的切线斜率大于0
C.
D.函数有2个零点
10．已知函数关于点对称,对任意,都有成立,且当时,都有,则下列结论正确的有( )
A.函数为偶函数
B.
C.函数在上有1014个零点
D.函数在上为减函数
11．在下列区间中,函数存在零点的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．方程的解的个数为____________.
13．若函数在区间上恰有两个零点，则ω的最大值是________.
14．函数，若函数的图像与直线有两个不同的公共点，则a的取值范围是________.
15．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x（单位：件）与货价p（单位：元/件）之间的关系为，生产x件所需成本（单位：元），当工厂日获利不少于1000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是_____________.
四、解答题
16．经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2018年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中,a为正常数）.已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用）,每一件产品的销售价格定为元,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;
（2）促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大 并求出最大利润的值.
17．某种产品每吨成本6万元,其销售价格x（万元/吨）和销售量y（吨）的变化情况如下表:
x 7 7.5 8 8.5 9
y 10 9 8.5 7.5 5
（1）若y与x线性相关,求y关于x的经验回归方程;
（2）根据（1）的结论,预测要使该产品销售利润最大,销售价格是多少 （结果精确到0.1）
附:（参考公式,）
18．已知函数对一切实数x，y，都有成立，且，.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
19．與论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前x天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：
天数 1 2 3
舆论场指数 12 48 156
为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含x的项的系数均不为0.
（1）请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；
（2）运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的與论场指数；
（3）若本次舆情不是严重的，求t的最小值.
20．国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x天的指导价为每件（元），且满足，第x天的日交易量（万件）的部分数据如下表.
第x天 1 2 5 10
Q（x）/万件 14.01 12 10.8 10.38
（1）给出以下两种函数模型：①；②.其中a，b为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系，并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数解析式；
（2）若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第x天的日交易额的函数解析式，并确定取得最小值时对应的x.
参考答案
1．答案：A
解析：易知，，.，则，，，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在区间和内.故选A.
2．答案：C
解析：区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，因为用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01，所以，因为，，所以，即所需二分区间的次数最少为7.故选C.
3．答案：D
解析：因为，所以由函数零点存在定理可知，零点.根据二分法，第二次应计算，即，故选D.
4．答案：B
解析：只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号时，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错误；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错误；求方程的近似解也可以用二分法，故D错误.故选B.
5．答案：C
解析：令，定义域为R，且连续，又，，所以方程的一个实根必在，所以，故选C.
6．答案：C
解析：因为二次函数有两个零点，所以方程有两个不等的根，所以解得且.故选C.
7．答案：C
解析：定义在R上的函数的图象是连续不断的,由题中表格知满足,根据函数零点存在定理可知在区间上一定存在零点.故选C.
8．答案：C
解析：由题意函数单调递增，且，，由零点存在定理可知方程的实数解所在的区间只能为.故选C.
9．答案：BC
解析：对A，，，
根据复合函数单调性知在，上单调递增，
当时，，当时，，
所以在定义域上不是单调递增，故A错误；
对B，因为，故B正确；
对C，因为，所以，故C正确；
对D，由A可知，函数不存在零点，故D错误.
故选：BC
10．答案：ACD
解析：函数关于点对称,关于对称,,
,关于对称,
当,时,都有,
在单调递增,
综上,可画草图,
选项A,可看作向左平移5个单位得到,平移后关于y轴对称,是偶函数,A正确;
选项B,可知,是以4为周期的函数,则,
,B错误;
选项C,在的零点个数有个,C正确;
选项D,在的图象和在的图象一致,应为减函数,正确.
11．答案：ABC
解析：A项,因为,
,
所以在上存在零点,又因为,所以在上存在零点,故A正确;
B项,,所以在上存在零点,故B正确;
C项,,,
且,,故使得,
则在上单调递增,,又,
所以在上存在零点,又因为,所以在上存在零点,故C正确;
D项,令,则,可知当时,,即在上单调递增,
故当时,,则当时,,
所以在上没有零点,故D错误.
12．答案：2
解析：令，，则，
令，，则，所以单调递增，
又，，
所以在区间内有唯一零点，记为α，
所以在内单调递减，在上单调递增，
又，，
由函数零点存在定理及函数的单调性可知在区间内有且仅有一个零点，
又，且，
所以在区间内有且仅有一个零点，
故原方程的解的个数为2.
13．答案：
解析：，
由可得，
因为，，则，
因为函数在区间上恰有两个零点，则，解得.
故ω的最大值为.
14．答案：
解析：令，整理得，
当时，即，可将上式去掉绝对值进行讨论得到如下两个等式，
，即①，令
，即②
时，对于方程②无解；
对于方程①，判别式，故①有两个不同实根，
由韦达定理可知两根之和为，两根之积为，易得两根一正一负，且最大正根满足，
开口向上，故最大根小于1，两个根都满足，共2个不同交点，符合题意；
当时，
方程变为，只有一个解，不符合题意；
当时，即，同样拆分得①②两个方程：
对于方程②，正根为，仅当，即时有1个满足条件的根；
对于方程①判别式
当时，①和②的根都为，仅1个交点，不符合题意；
当时，，①有两个不同根，且，开口向上，故仅1个根满足，
加上②的1个满足条件的根，共2个不同交点，符合题意；
综上，a的取值范围是.
15．答案：10
解析：由题意，设该厂月获利为y元，则，当工厂日获利不少于1000元时，即，即，解得.故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.故答案为10.
16．答案：（1）（）;
（2）当时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大,为万元;当时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大,为万元.
解析：（1）由题意知,,
将代入化简得:（）;
（2）,
（ⅰ）当时,
①当时,,所以函数在上单调递增,
②当时,,所以函数在上单调递减,
从而促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;
（ⅱ）当时,因为函数在上单调递增,
所以在上单调递增,故当时,函数有最大值,
即促销费用投入a万元时,厂家的利润最大.
综上,当时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大,为万元;
当时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大,为万元.
17．答案：（1）
（2）预测销售价格是8.7万元/吨时,该产品销售利润最大
解析：（1）依题意,,.
.
.
因此,.
所以y关于x的经验回归方程为.
（2）销售利润为.
当时,取得最大值,
所以预测销售价格是8.7万元/吨时,该产品销售利润最大.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）在中，令，，得，由，解得.
（2）在中，令，得，即，所以，.
（3）由（2）可知，由，可得，即得，其中，即，令，函数的图象如图所示：
则有，因为关于x的方程有三个不同的实数解，所以方程有两个不相等的实根，不妨设为，由函数的图象可知，或，，设，由二次函数的图象可得或解得或，所以，故实数k的取值范围为.
19．答案：（1）③
（2）480
（3）
解析：（1）③；根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③.
（2）将表格数据代入，得解得故函数为，则第4天时的舆论场指数为.
（3）若本次與情不是严重的，则恒成立，原式等于，故两边同时除以，得到，不妨设，，故原式等于，整理得，由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可，代入得，解得，故t的最小值为.
20．答案：（1）
（2）当时，取得最小值
解析：（1）由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②，观察表格中的4组数据，，，，从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，即解得，，可以检验得，，相对合理，从而.
（2）由（1）可得当时，由基本不等式得，当且仅当时取到最小值；当时，，由单调性的性质可得在区间上单调递减，故在时，有最小值，最小值为万元，又.综上所述，当时，取得最小值.
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