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2027届高考数学一轮复习专题特训 函数及其性质
一、选择题
1．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
2．已知，若有两个零点，则实数k的取值范围为( )
A. B. C. D.
3．已知函数的定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4．已知为定义在R上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则( )
A. B.
C. D.
5．如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心O到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈.若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h是关于t的函数.当时，( )
A. B.
C. D.
6．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．设,则的大小顺序为( )
A. B.
C. D.
8．设是定义在R上的偶函数,且满足,当时,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知正实数x，y满足，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
10．随着国产新能源汽车的发展，我国新能源汽车销量逐月攀高，2026年5月全品类乘用车销量排行榜前15名都是新能源汽车.某新能源汽车企业在2018年的年产量为万辆，由于技术升级和市场需求增长，该企业每年的产量构成一个等差数列，年产量逐年增加且每年增加固定的d万辆.已知该企业在2018年、2020年、2022年这三年的年产量之积等于其2018年至2026年这九年总产量的三分之一.记该企业前n年的累计产量为万辆.则下列结论正确的有( )
A.若2018年的年产量为1万辆，则每年增加1万辆
B.若2018年的年产量大于每年增加的固定产量，则每年增加固定产量小于1万辆
C.2018年与2019年的年产量之和的最小值为2万辆
D.2018年的年产量的取值范围是万辆
11．已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．定义在R上的函数，且，对，，则不等式的解集是____________________.
13．已知定义在R上的函数，其导函数为，当时，，若，且，则不等式的解集为____________________.
14．已知函数的导函数满足在R上恒成立，则不等式的解集是__________.
15．已知定义在R上的奇函数满足,且当时,,则区间上满足的所有整数x的和为______.
四、解答题
16．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)若，,求的长；
(3)若，点D在上，直线上一点P满足.在点C和点D的变化过程中，求的最小值.
17．已知函数是定义在上的奇函数,满足,当时,.
（1）求实数a,b的值;
（2）求函数的解析式;
（3）若,求实数m的取值范围.
18．已知函数的定义域为R,且,令函数,其中,若关于点中心对称,则称函数为“对数型中心对称函数”,点称为函数的“对数型中心对称点”.
（1）判断函数是否为“对数型中心对称函数”;
（2）是否存在“对数型中心对称函数”,其图象上的所有点都是的“对数型中心对称点” 如果存在,求出所有满足题意的;如果不存在,请说明理由;
（3）若函数是“对数型中心对称函数”,且的图象是一条连续曲线.已知,点都是的“对数型中心对称点”,证明:“函数在R上单调递减”是“对任意,当时,均有”的充要条件.
19．已知函数.
（1）若，且，求a的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求b的取值范围.
20．已知平面向量,满足,,.
（1）若,求k;
（2）求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为是定义在R上的偶函数，故可转化为，
又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为.
2．答案：A
解析：令，
得，
令，，
即与的图象有两个交点，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
所以当时，有极小值，为，
当时，有极小值，为，
当时，，
再由
可得的大致图象如下图:
所以当时，函数有两个零点.
3．答案：B
解析：令，则，因为在上，恒成立，可知在上单调递增.因为，所以，当时，即，可得.因为在上单调递增，所以.
4．答案：B
解析：根据题意知，即，构造函数，可得.因为，所以，所以在R上单调递增，则，两边同乘，即.
5．答案：A
解析：由题意得，而是以Ox为始边，为终边的角，由OP在t分钟内转过的角为，可知以Ox为始边，OP为终边的角为，则点P的纵坐标为，所以点P距地面的高度为.故选A.
6．答案：D
解析：设函数在上的“拉格朗日中值点”为，由题意可知，即，，由在的图象可知，与函数的图象有4个交点，即方程存在4个解，即“拉格朗日中值点”的个数为4.
7．答案：A
解析：设函数,则,令,得,
当时,,单调递增;当时,,单调递减,
而,,,
又因为,且在上单调递减,所以,
即.
8．答案：C
解析：因为,所以函数的对称轴为.
又因为函数是偶函数,所以轴为其一条对称轴.
所以函数的最小正周期为.
所以
9．答案：BC
解析：方法一（构造函数法）：由题意，得，即，设函数，显然在区间上单调递增，故由，得，故，，A错误，B正确；由，得，故，C正确；，D错误.
方法二（分类讨论法）：由题意，得，即.当，即时，，而，所以，故不成立；当时，，，不成立；当，即时，，，故成立，因此，所以，，A错误，B正确.，则，，C正确.，D错误.
10．答案：AB
解析：由题意，数列为等差数列，且公差为d，，
则，即，
由于，解得，故D错误.
对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则，解得，
则，
因为函数在上单调递减，且时，，
所以，故B正确；
对于C，由于，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为3，故C错误；
11．答案：AC
解析：因为当时，，令，可得，所以在上单调递增.因为，可得.对于A，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故A正确；对于B，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故B错误；对于C，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故C正确；对于D，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故D错误.
12．答案：
解析：，，构造，所以，所以在R上单调递减，且，不等式可化为，即，所以，所以原不等式的解集为.
13．答案：
解析：令，则，当时，，且，当时，，即在上单调递增.由，得，则，即，则是奇函数，设，则，，是常数，得，因此，即，故是偶函数.在上单调递增，在上单调递减.，，，当时，；当时，；当时，.又，，即，则或，所以不等式的解集为.
14．答案：
解析：令，则，所以在R上单调递增，
由，得，即，
又在R上单调递增，所以得.
所以不等式的解集是.
15．答案：7
解析：因为函数是奇函数且满足,所以,
故,因此函数的周期为4.
当时,,所以,,
所以,.
所以
对于区间上的整数,逐一计算,并判断是否满足.
当时,,不满足;
当时,,满足;
当时,,满足;
当时,,满足;
当时,,不满足;
当时,,满足;
当时,,满足.
综上,满足条件的整数为,0,1,3,4,其和为7.
16．答案：(1)
(2)2
(3)
解析：(1)在中，，
即，
故，
代入已知等式得： ，
即
由正弦定理边化角得，
因为C为三角形内角，，
得： ，
即，
即，
因为，
所以，
故
(2)因为，
由，得，
得：
两边平方得： ，
代入，
得： ；
(3)条件，变形得，
即，
如图，以B为原点，所在直线为x轴建系，
则， ，
因为，，得 ，
设，设中点为N，的中点为M，
则，,则，
则，
平方可得：，
即，
又，代入上式化简可得：
，
所以
对二次函数 ，对称轴，
最小值为： ，
故的最小值为.
17．答案：（1）,
（2）
（3）
解析：（1）由题意得,解得,.
（2）由（1）可知,当时,.
当时,,所以.
因为是定义在上的奇函数,
所以当时,.
所以
（3）因为当时,,
反比例函数在上单调递增,
所以函数在上单调递增.
因为是定义在上的奇函数,所以在上单调递增.
由题意,得不等式即,
所以.
解得,即实数m的取值范围是.
18．答案：（1）函数是“对数型中心对称函数”
（2）存在,
（3）见解析
解析：（1）若是“对数型中心对称函数”,则关于点中心对称,所以,
即,所以.
所以对于任意的实数,都有且成立,
则称函数是“对数型中心对称函数”,点称为函数的“对数型中心对称点”.
若,则,
所以函数是“对数型中心对称函数”.
（2）若存在“对数型中心对称函数”,其图象上的所有点都是的“对数型中心对称点”,
则对于任意的实数x和m,都有,
令,可得,所以对任意实数只能取0或1,
又,即,所以.
下面证明当时,是“对数型中心对称函数”,且都是的“对数型中心对称点”.
对于任意的实数x和,
所以是“对数型中心对称函数”,且都是的“对数型中心对称点”.
综上所述,满足题意的只有.
（3）由点是的“对数型中心对称点”可知恒成立,
取得,同理可得.
因为,所以,所以有,
又,所以,即.
充分性:若函数在R上单调递减,当时,有,
所以,
所以,充分性成立
必要性:若对任意,当时,均有,
所以当时,,
又的图象是一条连续曲线,所以在上单调,
又,所以在上单调递减.
因为函数是“对数型中心对称函数”,且点都是的“对数型中心对称点”,
所以关于点和点中心对称,
又在上单调递减,所以由复合函数的单调性知在上单调递减,
因为的图象是一条连续曲线且,所以也是一条连续曲线,
所以可以通过中心对称得到在和上单调递减,不断往两边扩展,
即可得到在R上单调递减,所以在R上单调递减,必要性成立.
综上所述,“函数在R上单调递减”是“对任意,当时,均有”的充要条件.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）时，，其中，
则，，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故，即，
所以a的最小值为.
（2）证明：的定义域为，
设为图象上任意一点，点关于的对称点为，
因为在的图象上，所以，
而
，
所以也在的图象上，
由点P的任意性可得的图象为中心对称图形，且对称中心为点.
（3）因为当且仅当，所以为的一个解，
所以，即，
先考虑时，恒成立.
此时，即在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，，则，
当时，，故恒成立，
故在上为增函数，故，即在上恒成立.
当时，，故恒成立，
故在上为增函数，故，即在上恒成立.
当时，则当时，，
故在上为减函数，故，不符合题意，舍去.
综上，在上恒成立时.
而当时，由上述过程可得在上单调递增，
故的解为，即的解为.
综上，.所以b的取值范围为.
20．答案：（1）2
（2）
解析：（1）,
,
;
（2）,
所以当时,取得最小值.
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