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2027届高考数学一轮复习专题特训 集合
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．已知m,,集合,集合,若,则( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3．已知集合,则( )
A. B. C. D.
4．设全集，集合，，，则( )
A. B.
C. D.
5．设集合，，则( )
A. B. C. D.
6．设集合,,则( )
A. B.
C. D.或
7．已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
8．设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题
9．若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，且当时，，则称集合A是“紧密集合”.以下说法正确的是( )
A.整数集是“紧密集合”
B.实数集是“紧密集合”
C.“紧密集合”可以是有限集
D.若集合A是“紧密集合”，且，则
10．下列说法正确的是( )
A.已知集合,则{或}
B.已知集合,,则
C.已知集合,,则
D.已知集合,则
11．设P，Q为非空实数集，定义，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．设，用列举法表示所有可能取值组成的集合，结果是____________________.
13．若对任意的，都有，则称A是完美集合.从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是________.
14．已知集合,,将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.若且,则__________.
15．已知集合U中含有个元素,集合是U的非空子集,且,则不同的集合对有____________个.（用含n的代数式表示）
四、解答题
16．已知集合，，全集，且，.
（1）求集合A；
（2）求.
17．对于给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质.
（1）判断集合，是否具有孪生性质，请说明理由；
（2）设集合，且，若C具有孪生性质，求n的最小值；
（3）设集合，，若，求证：.
18．已知全集，集合，，.
（1）求；
（2）再从下面给出的条件①、条件②这两个中选择一个作为已知，求t的取值范围.
条件①：；条件②：.
19．已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”.
（1）写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）.
（2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2.
（3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果存在，存在几个？请说明理由.
20．已知集合，，且.
（1）若命题，是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题，是假命题，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：解方程得或1，所以，
，所以.
2．答案：A
解析：因为,则,,,则
故答案为A.
3．答案：A
解析：由题意得,,则.
故选:A.
4．答案：A
解析：，，，
其中，，，组成了所有整数，
则，
5．答案：B
解析：由题意，.
故选：B
6．答案：D
解析：不等式的解为或,即或.
当时,满足,因此是的子集;
当时,需同时满足,即,因此是的子集.
综上可得或.
7．答案：B
解析：由全集，集合，得，而，
所以.
8．答案：B
解析：解，得，记对应解集为；
解，得，记对应解集为；
因为B是A的真子集，若成立，则一定满足，必要性成立；
若成立，无法推出，
例如：满足，但不满足，充分性不成立；
因此“”是“”的必要不充分条件.
9．答案：BC
解析：A选项：若，，而，故整数集不是“紧密集合”，A错误；
B选项：根据“紧密集合”的性质，可知实数集是“紧密集合”，B正确；
C选项：集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；
D选项：集合是“紧密集合”，当时，，D错误.故选BC.
10．答案：BD
解析：对于A,由补集的概念知{或},故A错误;
对于B,由并集的概念知,故B正确;
对于C,由真子集的概念知集合A是B的真子集,故C错误;
对于D,由交集的概念知,故D正确.
故选:BD
11．答案：AB
解析：选项A，由题可知，，故正确；
选项B，，所以，同理，所以，故选项B正确；
选项C，，故当集合P中没有元素0时，选项C错误；
选项D，由题可知，但是可能为空集，所以选项D错误.故选AB.
12．答案：
解析：根据x，y的符号，分情况去绝对值：若，，；若，，；若，，；若，，所有可能取值组成的集合为.故答案为.
13．答案：
解析：集合共有9个元素，
则集合有个非空子集.
根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有.
若A中含有元素0，由于无意义，不满足定义，故A不是完美集合；
若A中含有元素-3，则要求，但不在原集合中，故不满足定义；
同理，含有-2或3的集合也不是完美集合，
因此，完美集合只能是集合的非空子集，
其中满足完美集合的有、、、、、、，共7个，
所以集合的所有非空子集中不是完美集合的个数为个，
所以非空子集中不是完美集合的概率是.
14．答案：
解析：依题意,,由,令,显然集合A中小于的元素有个,
集合B中不大于的元素有t个,因此,
由,令,
同理,于是,,
令,则,
由,得,则,
又数列单调递增,而,因此,
当时,,解得;当时,,无整数解;
当时,,无整数解;当时,,无整数解,
则,
15．答案：
解析：易知个元素的集合有个非空子集;
即集合B的个数有个,又,因此对集合中的元素个数进行分类讨论如下:
若非空集合B中含有1个元素,则共有种情况,对应的非空集合A满足的有个;
若非空集合B中含有2个元素,则共有种情况,对应的非空集合A满足的有个;
……
若非空集合B中含有个元素,则共有种情况,对应的非空集合A满足的有个;
……
若非空集合B中含有n个元素,则共有种情况,对应的非空集合A满足的有个;
所以不同的集合对共有个;
根据二项式定理化简可得
因此不同的集合对共有个.
故答案为:
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，所以.
（2），由（1）知，.
17．答案：（1）集合A不具有孪生性质，集合B具有孪生性质；理由见解析
（2）676
（3）证明见解析
解析：（1）由题意可得，，，，
而，，
所以集合A不具有孪生性质，集合B具有孪生性质.
（2）由题意可得，，
因为，所以，即.
又因为，所以n的最小值是676.
（3）证明：集合，，
则0，，，，，，都属于集合，
又因为，且，
由于0一定是中的元素，且为最小元素，结合，可知，
此时，故0，，，，，，都属于集合，
由于，且，故必然，，与，，中的某一个元素相等，
又因为，，所以是，，三者中的最大值，
故只能与或相等，又，，
因此只能，且，
所以.
18．答案：（1）
（2）选择条件①：t的取值范围是或且
选择条件②：t的取值范围是且
解析：（1）因为集合，，
所以或.
所以.
（2）选择条件①：因为，所以.
所以或，即或.
又因为，所以.
综上，t的取值范围是或且.
选择条件②：因为，所以.
因为，所以，即.
又因为，所以.
综上，t的取值范围是且.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即
解析：（1）不妨令，此时，满足要求.
（2）证明：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，
因为，，故可设，，
两边同时除以，得，
因为，所以，
与矛盾，不合要求，故假设不成立，
即元素，中至少有一个大于2.
（3）存在，存在1个.理由：
设正整数集为“三元和谐集”，则，
不妨设，则，解得.
因为，故只有，满足要求.
综上，满足要求，其他均不合要求，
即存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由命题p为真命题可得，且，
则解得.
即实数m的取值范围为.
（2），是假命题，
，是真命题，即，
解得，
即实数m的取值范围为.
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