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河北省保定市高碑店市部分校2025-2026学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．单项式与的公因式为（ ）
A．a B．b C． D．
4．如图，用水平向右的拉力拉动滑块使其向右平移，若，，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的值为（ ）
A． B． C． D．
7．嘉嘉制作了一份某市的（城市漫步）打卡地图，地图上的打卡点分为口袋公园和潮流街区两类，这两类加起来共13个打卡点．其中，口袋公园打卡点的数量不少于潮流街区打卡点数量的2倍．若设此城市潮流街区打卡点的数量为x个，则可得不等式（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，若，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，线段相交于点O，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成平行四边形的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．若，则表示的值的点落在区间（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，M，N分别是边上的点，与交于点P，与交于点Q，P为的中点．若，，阴影部分的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在中，，，，D为其内部一动点，，E为的中点，连接，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
二、填空题
13．因式分解：______．
14．若x为整数，且x满足，则x的值可以为______．（写出一个即可）
15．如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，且点D在边上，则的长为______．
16．如图，在中，，，，动点M，N分别在边，上，且，以为边作等边，且点P始终在的内部或边上，则的最大值为______．
三、解答题
17．解不等式或不等式组
(1)解不等式，并在所给的数轴上表示其解集．
(2)解不等式，并在所给的数轴上表示其解集．
(3)直接写出不等式组的解集．
18．在对“”进行因式分解时，嘉嘉和淇淇两名同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
嘉嘉： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 淇淇： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步
任务：
(1) （填“嘉嘉”或“淇淇”）的解答错误，从第 步开始出现错误．
(2)按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程．
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出将向右平移6个单位长度后得到的．
(2)画出关于原点O对称的．
(3)将绕某点旋转后得到，其中点A的对应点是，则旋转中心的坐标是 ．
20．“这么近，那么美，周末到河北．”河北省某地旅游景点为方便游客游览，现提供免费的观光车，观光车分为两种类型，分别为电瓶车和小火车，每辆小火车的座位比电瓶车多20个．某旅游团有120人，此旅游团成员全部乘坐观光车游览，若每一辆观光车都坐满乘客，且该旅游团全部乘坐电瓶车所需的数量是全部乘坐小火车所需数量的2倍．设乘坐的电瓶车每辆车的座位数为x个．
(1)若旅游团成员全部乘坐电瓶车，则需 辆电瓶车；若旅游团成员全部乘坐小火车，则需 辆小火车．（都用含x的式子表示）
(2)求x的值．
21．如图，在四边形中， ，于点E，于点F，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)如图，与交于点G，过点G作，交的延长线于点H．若，，求的长．
22．综合与实践
【情境】研究如图所示的四边形铁板零件的边长、角度和面积，并为其添加一个焊接点．
【操作和测量】如图，连接，测量得知，，查询零件出厂说明得知，，．
(1)的形状为 三角形．
(2)求的度数，并直接写出四边形的面积．
(3)焊接点P的位置满足以下两个要求：①到点A，C的距离相等，②到两边的距离相等．请按上述两个要求在图中标注出点P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
23．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；．
解决下列问题：
(1)若k为任意实数，求证：一定为非负数．
(2)若，求x的值．
(3)若，请直接写出x的值．
24．如图，在等腰梯形中，，．
【猜想证明】如图1，过点C作，交的延长线于点E．
(1)猜想的形状，并说明理由．
【深入探究】如图2，M为的中点，，点N在边上，，，．
(2)若P为的中点，Q为的中点，求的长．
(3)请直接写出的长．
参考答案
1．D
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
2．B
解：∵分式的值为
∴，且
解方程得，
当时，，符合分母不为0的要求
∴的值为．
3．C
【详解】∵单项式的系数为，所含字母为；单项式的系数为，所含字母为
∴系数的最大公约数为，两项共有的相同字母为，的最低次数是，
∴两个单项式的公因式为．
4．B
解：∵，，
∴平移的距离为：．
5．D
解：选项A，无法继续分解为多个次数不低于1的整式乘积，不能因式分解，
选项B，没有公因式，也不符合常用因式分解公式，不能因式分解，
选项C，没有公因式，也不符合常用因式分解公式，不能因式分解，
选项D，可提取公因式，得到，符合因式分解要求．
6．C
解：∵，
∴．
7．D
解：∵设潮流街区打卡点数量为个，两类打卡点共13个，
∴口袋公园打卡点的数量为个，
又∵口袋公园打卡点的数量不少于潮流街区打卡点数量的倍，
∴可得不等式．
8．A
解：∵，，
∴，
∴
∴
∴．
9．C
解：①如图，可得四边形为平行四边形；
②如图，可得四边形为平行四边形；
③如图，可得四边形为平行四边形；
④如图，可得四边形为平行四边形；
综上可得，这些点可以构成4个平行四边形．
10．C
解：，
∵，
∴，
∴，即，
∴表示的值的点落在区间．
11．A
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
如图所示，连接，
∴，
∵P为的中点，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴阴影部分的面积 ．
12．D
解：∵，E为的中点，
∴无法确定与的大小关系，故选项A不正确；
∵，，，
∴，
∴，
∴，∴选项B不正确；
如图，取的中点F，连接，则，
∵，E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点C，D，F在同一条直线上时，取最小值，此时最小值为的长．
∵，
即的最小值为，故D选项正确，C选项不正确．
13．
解：．
14．1（答案不唯一）
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
因此，不等式组的解集为：，
为整数，
的值可以为1．
15．1.8
解：∵将沿射线的方向平移，得到，
∴，，，
∵将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
16．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴当点P在边上时，的面积最大，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，设与交于点G，
同理，
∴的面积．
17．(1)，在数轴上表示其解集如下：
(2)，在数轴上表示其解集如下：
(3)
（1）解：，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；数轴略；
（2）解：，
去括号得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；数轴略；
（3）解：结合（1）（2）问结果可得不等式组的解集为．
18．(1)淇淇；一
(2)按照淇淇同学的思路，写出正确的解答过程如下：
原式．
（1）解：观察可知，淇淇的解答过程错误，从第一步开始出现错误，错误原因是第一步运用平方差公式分解因式时，第二个括号内的b前面的符号错误；
（2）略
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图所示，点即为所求．
20．(1)；
(2)x的值为20
（1）解：；．
（2）解：由题意，得，
两边都乘以，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴x的值为20．
21．(1)证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形．
(2)5
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，．
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴．
22．(1)等腰直角
(2)，四边形的面积为
(3)如图，点P即为所求．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴四边形的面积；
（3）略
23．(1)证明：由题意得：
，
∵，
∴，即，
∴一定为非负数．
(2)
(3)
【详解】（1）证明：略．
（2）解：∵，
∴或，
①当时，解得，经检验，是这个分式方程的解，
将代入得：，
此时，舍去；
②当时，解得，经检验，是这个分式方程的解，
将代入得：，
此时，符合题意；
综上，的值为．
（3）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴．
24．(1)解：为等腰三角形．
理由：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形．
(2)解：如图所示，延长，交的延长线于点H，过点A作于点F，连接，
∴，
∵，，
∴，，
∵M为的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∴．由勾股定理，得，
∴．
∵，，
∴．
由勾股定理，得，
∴．
∵P为的中点，Q为的中点，
∴．
(3)
【详解】（1）略；
（2）略；
（3）解：如图2，延长，交的延长线于点H，过点A作于点F，过点D作于点G．
由（2）知，，
∴．
在中，，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．

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