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山东聊城市2025-2026学年第二学期期末教学质量检测高二数学试题
一、单选题
1．随机变量，，则，分别为（ ）
A．2，1.6 B．4，3.2 C．4，6.4 D．8，6.4
2．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．有件产品，其中件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（ ）
A．36种 B．72种 C．144种 D．576种
6．已知在的展开式中，的系数为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，“经过5次摸球停止摸球”的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列线性回归分析与分类变量独立性检验的相关说法中，正确的有（ ）
A．相关系数的绝对值越大，变量线性相关程度越强
B．决定系数越大，模型对数据的拟合效果越差
C．绘制残差图时，残差点均匀分布的水平带状区域宽度越窄，说明回归模型的预测精度越高
D．独立性检验中，随机变量的值越大，作出推断“认为两变量和不独立”犯错误的概率越小
10．设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设函数和图象交点的横坐标为，下列说法正确的是( )
A．若在定义域上不单调，则
B．若和有相同的最小值，则
C．当时，
D．当时，若，，则
三、填空题
12．元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为_______．
13．已知函数没有极值点，则________．
14．已知某产品在2月份到6月份销量如下表：
月份 2 3 4 5 6
销量 42 53 66 80 109
设关于的函数，则当取最小值时，的值为________．
四、解答题
15．某班级学习小组共有9名学生，其中男生5名女生4名，计划参与校园文化节相关活动．
(1)活动要求小组至少派1人参与，参与人数不限，每名学生均可选择参与或不参与，请问共有多少种不同的参与方案？
(2)若小组9名学生都获得了活动入场资格，现要从9人中随机抽取4人作为活动志愿者．
（i）求抽取的4人中女生人数不超过2人的选法种数；
（ii）求抽取的4人中至少有1名女生的概率．
16．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
17．某学校高二年级开展课外活动兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从艺术类和体育类中选择最喜欢的一类，喜欢艺术类的归为甲组，喜欢体育类的归为乙组．调查发现：甲组成员共人，其中男生人．
(1)根据以上数据，完成如下列联表：
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
(2)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢艺术类还是体育类是否与性别有关；
(3)从该校全体女生中按照表中分组比例采用分层抽样的方式，抽取人，再从这人中随机抽取人，设抽取的女生中喜欢体育类的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
18．已知函数，且．
(1)求值；
(2)若曲线在点处的切线与曲线有且只有两个公共点，求实数的取值范围．
19．信息熵是信息论中的一个重要概念，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小，设随机变量的分布列为，，定义的信息熵．
(1)若，，求；
(2)若随机变量，求的最大值；
(3)证明：．
参考答案
1．C
解析：首先明确二项分布的数字特征：若随机变量，则期望，方差, 本题中，即；
代入得： ， .
因为，根据期望和方差的线性运算性质可得,.
2．A
解析：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是负相关，相关系数小于0，
图2和图4是正相关，相关系数大于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1，
由此可得．
3．D
解析：因为，所以.
故选：D.
4．B
解析：由求导得 ，
因.
5．C
解析：第一步将两个孩子捆绑在一起，因为他们之间有顺序，所以有种，
因为排头和排尾必须是家长，先将家长全排共有种，除掉首、末的空位，总共有3个空位，在3个空位中选一个给捆绑在一起的两个孩子，共种，所以总共有种.
6．B
解析：分两类计算的系数：
第一类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选，
则该项次数为，其中且.
令，得，解得可行解或.
当：系数为；
当：系数为，故第一类对应的系数为.
第二类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选，
则该项次数为，其中且.
令，解得可行解或.
：系数为；
：系数为，故第二类对应的系数为.
综上可得的展开式中的系数为.
根据题意列方程：，解得.
因此实数的值为.
7．D
解析：设，，
，得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，，
即恒成立，
设，由条件恒成立，
得恒成立，即恒成立，设，
，得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以时，取得最大值，
则.
8．A
解析：设事件：经过次摸球未能停止摸球；
事件：经过次摸球停止摸球，
“3次摸球停止”等价于前3次恰好取到1、2、3三个编号，
即为3个元素全排列，共种情况，
摸3次球的总基本事件数为，
因此3次停止的概率，
则3次未能停止的概率：，
5次摸球的总事件数为，
选取前4次出现的2个编号有种，
前4次仅用这2个编号且均至少出现1次，
有效情况数：种（减去全程只出现单个编号的2种极端情况），
第5次必须摸到剩余1个未出现的编号，仅1种情况，
综上，符合条件的总事件数：，
因此事件的概率：，
因为真包含于中，所以，
则.
9．ACD
解析：选项A：相关系数的取值范围是，越接近1，说明变量间的线性相关程度越强，因此越大线性相关程度越强，A正确；
选项B：决定系数反映回归模型对数据的拟合效果，越大，说明模型能解释的因变量变异占比越高，拟合效果越好，B错误；
选项C：残差点均匀分布的水平带状区域宽度越窄，说明残差的波动幅度越小，回归模型的拟合效果越好，预测精度越高，C正确；
选项D：独立性检验中，值越大，对应的“两变量独立”的概率越小，因此推断“不独立”时犯错误的概率越小，D正确.
10．AC
解析：对于A，因为正态密度曲线关于直线 对称，由图可知的对称轴在的对称轴左侧，所以 ，故A正确；
对于B，因为正态密度曲线越“高瘦”，越小；曲线越“矮胖”， 越大，
由图可知的曲线比的曲线更“高瘦”，所以 ，故B错误；
对于C，因为随机变量，其密度曲线关于对称，所以.
因为在 的右侧，所以，则，
即，故C正确；
对于D，根据正态分布的概率性质，，
，
因为，
所以，故D错误.
11．ABD
解析：对于A，的定义域为，，
若在定义域上不单调，则在上有解，解得，
因为，所以，即，故A正确.
对于B， ，若有最小值，则，
令，得，故的最小值为，
若有最小值，则，令，即，得，
故的最小值为，
若和有相同的最小值，则，
当时，等式成立，故B正确.
对于C，因为，所以，整理得，
当时，，，故,即，得，
因为，所以只需大于某个小于的数即可，并非，故C错误.
对于D，当时，，，
若，则，变形得，
构造函数，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
若，则仅当时等号成立，即，故D正确.
12．/
解析：用表示任选一题选到灯谜题目中逻辑推理，传统灯谜，一中文化，
则，
记伟同学任意抽取一道题目答对为事件为，
则，
所以
.
故答案为：.
13．
解析：由，
得，
因为无极值点，
所以，
所以，
即，
即，
所以，解得，
所以，.
14．/
解析：依题意，，
，
依题意，，
当取最小值时，.
15．(1)511
(2)（i）105；（ii）
解析：（1）每个学生都有参与、不参与两个结果，因此9名学生的不同参与结果有种，
又活动要求小组至少派1人参与，则符合题意的结果中不含9名学生都不参与的情况，
所以不同的参与方案共有511种.
（2）（i）抽取的4人中女生人数不超过2人有三种情况：抽取的4人全是男生，有种；
抽取的4人中有1名女生，有种；抽取的4人中有2名女生，有种，
所以抽取的4人中女生人数不超过2人的选法种数是.
（ii）从9名学生中任抽4名，有种，其中抽取的4人全是男生，有种，
所以抽取的4人中至少有1名女生的概率为.
16．(1)0
(2)
(3)6561
解析：（1）解：由，
令，可得，
令，可得，
所以 .
（2）解：由，
所以.
（3）解：由，
可得展开式中的系数为，
所以都大于零，而都小于零，
则，
令，可得
，
所以 ．
17．(1)列联表如下：
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
(2)依据小概率值的独立性检验，认为学生喜欢艺术类还是体育类与性别有关；
(3)的分布列为：
数学期望
解析：（1）由题意得，男生共人，甲组男生人，因此乙组男生人数为；
甲组共人，因此甲组女生人数为；
女生共人，因此乙组女生人数为；
乙组总人数为，总样本量为，据此填写列联表如下：
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
（2）提出零假设：学生喜欢艺术类还是体育类与性别无关.
由，
所以，
小概率值对应的临界值，由于，
因此推断不成立，即认为学生喜欢艺术类还是体育类与性别有关.
（3）女生中喜欢艺术类、体育类的人数比为，
按分层抽样抽取人时，抽取的喜欢艺术类的人数为，喜欢体育类的人数为.
从人中随机抽取人，的所有可能取值为，
所以服从超几何分布，概率计算公式为.
，，，
据此得到的分布列：
数学期望.
18．(1)
(2)或
解析：（1）令，可得：，
由于，
所以，
则，
所以，
解得：
（2）由（1）可得，
由，可得，
所以曲线在点处的切线为，即，
由曲线在点处的切线与曲线有且只有两个公共点，
则，即有两个解，令
则将问题转为直线与的图象有两个交点，
，
令，解得或，令，解得，
所以的单调增区间为，减区间为：，
极大值为，极小值为，
当时，，当时，
所以要使直线与的图象有两个交点，
则或
19．(1)；
(2)；
(3)设，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则当时，取最大值，且最大值为，
则，即，，
令，得，
即，即，
即，
则，
因为，所以，
因为，，所以.
解析：（1）因为，， ，所以 ，
则
.
（2），
，
，
，
，
令，，
，
令，即，解得，
令，则，
，
二次函数，最大值在处取得，
且最大值为，即，则，
，
因此 ，即，
则在上是单调递增函数，，
当时，，，
当时，，，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上，时，取得最大值，且最大值为
.
（3）略.

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