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第五章 四边形
1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的定义及边、角的性质
基础提质
知识点1 平行四边形的定义
1.如图，在□中，点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上，，，EF与GH交于点O，则图中的平行四边形一共有 （ ）
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
知识点2 平行四边形的对称性
2. 关于平行四边形，下列说法正确的是 （ ）
A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 是轴对称图形，不是中心对称图形
C. 不是轴对称图形，是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
知识点3 平行四边形的性质——边、角
3.如图，在□中， ，则 的度数是 （ ）
A. B. C. D.
4. □的周长为40cm，的周长为25cm，则对角线AC的长为 （ ）
A. 5cm B. 15cm C. 6cm D. 16cm
5. 如图所示，在平行四边形OABC中，点O为坐标原点，点C的坐标为(-4,0)，点A的坐标为(1,3)，则顶点B的坐标是____________.
6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，在对角线BD上取两点E,F，连接AE,CF，若 ，求证：AE=CF.
7. 如图，在□中，点E,F分别在BC和AD上，且 .求证：BE=DF.
能力提升
8.如图，在 ABCD与 ABEF中，BE,AD相交于点G，且C，D，E，F四点共线.下列结论一定成立的是（ ）
A.AB=DE B.CE=DF C.∠C=∠F D.∠EDG=∠AGB
9.如图，在 ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作 EFGH，且点G，H分别在CD，AD上.在动点F运动的过程中， EFGH的面积（ ）
A.先减小，再增大 B.先增大，再减小 C.逐渐减小 D.不变
第9题图 第10题图
10.如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D'落在AB边上时，点C的对应点C'恰好与点B，C在同一条直线上，若∠DAB=72°，则此时∠BC'D'的度数为______________.
素养提优
11.已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC.
（1）如图1，求证：△AED≌△EFB.
（2）如图2，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图2中与∠BAE相等的四个角.
微专题 平行四边形+内角平分线模型
1.如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若AD=2，则BE=________.
2.如图，在 ABCD中，AB=3，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD的延长线于点F.若DE=2，则BC的长为____________.
3.如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB=8，BC=12，则EF的长为____________.
参考答案
基础提质
1.D ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB//CD，AD//BC，
∵ CD//GH，AD//EF，∴ AB//GH//CD，AD//EF//BC，
∴ 平行四边形有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共9个.
2.C 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.故选 C.
3.B ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD//BC， ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ .故选 B.
4.A ∵□ 的周长为 40cm，∴ AB+BC=20cm，
又∵ 的周长为 25cm，∴ 对角线 AC 的长为 25-20=5(cm).故选 A.
5.答案 (-3,3)
解析 ∵ 四边形 OABC 是平行四边形，点 O 为坐标原点，点 C 的坐标为 (-4,0)，∴ AB//x 轴，且 AB=OC=4，∵ 点 A 的坐标为 (1,3)，∴ 点 B 的横坐标为 1-4=-3，纵坐标为 3，∴ 点 B 的坐标为 (-3,3).
6.证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD=BC,AD//BC，∴，
在 和中， ∴，∴ AE=CF.
7.证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ,AB=CD, ,
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中， ∴ ，
∴ BE=DF.
能力提升
8.B ∵ 四边形 ABCD 和四边形 ABEF 是平行四边形，
∴ AB=CD=EF，但 AB=DE 不一定成立，故 A 错误；
∵ CD=EF, ∴ CD+DE=EF+DE, ∴ CE=DF, 故 B 正确；
∵ 四边形ABCD 和四边形 ABEF 是平行四边形，∴,,
∵ 与 不一定相等，∴ 不一定成立，故 C 错误；
∵ ，无法得到 ，∴ 不一定成立，故 D 错误.故选 B.
9.D 如图，连接 EG, 过点 E 作 于点 M, 作 交 DA 的延长线于点 N,
∵ 四边形 EFGH 为平行四边形，∴ EF=HG, EF//HG,
∴ , ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB//CD, , ∴ ,
∴ ,
∴ ，又 ∵ EF=HG， ，
∴ ，
同理可得 ，
，E 是 AB 的中点，∴ ，AE=BE，
∵，，∴ ，∴，
∴ NE=ME，
设 NE=ME=a，BC=b，BF=x，则 AH=CF=b-x，
∴
∴ 在动点 F 运动的过程中， 的面积不变，故选 D.
10.答案
解析 由题意可得， ， ，
，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ， ，
∵ 点 ,B,C 在同一条直线上，∴ ，
∴ .
素养提优
11.解析 (1)证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ ，AD=BC，
∴ ，
∵ BC=BE，∴ AD=EB，
在 和 中， ∴ .
(2)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD=BC， ，
∵ AB=AD，∴ AB=BC，
∵ BE=BC，∴ AB=BE, ,
, ,
, , ,
由(1)知 , ,,
∴与 相等的四个角是 , , , .
微专题
1.答案 2
解析 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AD=2，∴ BC=AD=2,AB//CD,∴ , ∵ CE 平分 ，∴ , ∴ , ∴ BE=BC=2，故答案为 2.
2.答案 5
解析 由作图步骤可知，BO 平分 , ∴ , ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD//BC,AD=BC, ∴ , ∵ , ∴ , ∴ AE=AB=3, ∴ AD=AE+DE=3+2=5，∴ BC=AD=5.
3.答案 4
解析 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD=BC=12,AB=CD=8,AD//BC, ∵ BF 平分 , ∴ , ∵ AD//BC, ∴ , ∴ , ∴ AB=AF=8，同理可得 CD=DE=8，∴ EF=AF+DE-AD=4.

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