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第五章 四边形
1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
基础提质
知识点 平行四边形的性质——对角线
1.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是 （ ）
A.AC⊥BD B.AC=BD C.OB=OD D.∠ABC=∠BAC
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=6，BD=10，则边AB的长的取值范围是 （ ）
3.如图， ABCD的对角线交于点O，且CD=4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长为___________.
4.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD，CB的延长线于点E，F.求证：OE=OF.
能力提升
5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则 ABCD的周长为（ ）
A.8 B.10 C.16 D.20
6.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为 （ ）
A.12 B.10 C.13 D.14
7.如图，在 ABCD中，AB⊥AC，点E是AD的中点，作EF⊥BD于点F，若AB=4，AC=6，则EF的长为___________.
第7题图 第8题图
8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，点D是AC上一动点，以AD，BD为边作 BDAE，则对角线DE长的最小值是__________.
9.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F.
(1)求证:AE=CF.
(2)若AB⊥AC,AC=6,BD=10,求AE的长度.
10.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE交BC于点G,连接OG,CF.
(1)求证:AE//CF.
(2)当AG⊥BC,OG⊥AC时,求∠ACB的度数.
素养提优
11.(1)如图①, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直线EF过点O,与AD,BC分别交于点E,F.求证:AE=CF.
(2)如图②,将 ABCD沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点处,点B落在点B 处,FB 交CD于点G,A B 与CD,DE分别交于点H,I.求证:EI=FG.
微专题 平行四边形中的面积问题
1.如图,P为 ABCD的对角线BD上一点,△ABP的面积为S ,△CBP的面积为S ,则S 和S 的关系为__________.
2.如图, ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O,交AD于点F,交BC于点E.若AB=3,AC=4,AD=5,则图中阴影部分的面积是________.
3.如图,点P在平行四边形ABCD的对角线BD上,过点P作EF//BC,GH//AB.已知S ABCD=22,S四边形BGPE=2,S四边形PFDH=10,则四边形AEPH的面积是____________.
参考答案
1.C ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OB=OD，故选 C.
2.C ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，, ,
∵ AC=6，BD=10，∴ AO=3，BO=5，
在中，AB的长的取值范围是，即，故选 C.
3.答案 20
解析 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，, , AB=CD=4，
∵ AC+BD=32，∴ ，
∴ 的周长=OA+OB+AB=16+4=20.
4.证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AO=CO,AD//BC，
，
在 和 中， ∴ ，
∴ OE=OF.
能力提升
5.C ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC,AB=CD,AD=BC，
∵ , ∴ OE 垂直平分 AC，∴ AE=CE，
∴ 的周长=CD+CE+DE=CD+AE+DE=CD+AD=8.
∵□ 的周长为 2(CD+AD)，∴□ 的周长为 16，故选 C.
6.A 【解法一】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD,BC=AD,OA=OC,AD//BC，∴，在与中，，OA=OC，， ，∴ OE=OF=1.5，AE=CF，∵平行四边形 ABCD 的周长为18，∴ CD+AD=9，∴四边形 EFCD 的周长=ED+CD+CF+EF=AD+CD+EF=9+3=12，故选 A.
【解法二】∵ 平行四边形 ABCD 是中心对称图形，O 为对称中心，∴ OE=OF=1.5，四边形 EFCD 的周长=四边形 EABF 的周长=平行四边形 ABCD 的周长的一半+EF=9+EF，∴ EF=OE+OF=3，∴ 四边形 EFCD 的周长=9+3=12，故选 A.
7.答案
解析 如图，连接 OE，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC=6，∴ ，OB=OD，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，，∴ OD=5，
∵ 点 E 是 AD 的中点，∴ ，
，，，即，.
8.答案 解析 如图，设 AB 和 ED 交于点 O，
∵ 四边形 BDAE 是平行四边形，，OD=OE，
， ， ， ，
， ，
当 时，OD 取得最小值，OD 的最小值为 ，此时 ED 取得最小值， 的最小值为 ，即对角线 DE 长的最小值是 .
9.解析 (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
， ，
， ，
， .
(2) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ， ，
， ，，
的面积 ，， .
10.解析 (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，，
分别为 OB,OD 的中点， ， ，
， ， ，
.
(2) ， ，
由 (1) 知 OA=OC，
， 垂直平分 AC， ，
是等腰直角三角形，.
素养提优
11.证明 (1) ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
， .
在 和 中， ，
.
(2) 由 (1) 知，AE=CF.
由折叠的性质得 ， ， ，
， ，
， ， .
在 和 中， ，
.
微专题
1.答案
解析 如图，连接 AC 交 BD 于点 O.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
，即 ，
2.答案 3
解析 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
是直角三角形，
与 等底同高，
3.答案 5
解析 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
四边形 BGPE, 四边形 PFDH 为平行四边形，

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