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第五章 四边形
3 三角形的中位线
基础提质
知识点1 三角形的中位线
1.下列说法正确的是 （ ）
A.三角形的中位线是射线
B.三角形的中位线是线段
C.三角形的中位线与三角形的中线是相同线段
D.任意一个三角形只有一条中位线
知识点2 三角形的中位线定理
2.如图，D,E分别是 的边AB,AC的中点，连接BE,DE.若 ，DE=2，则BE的长是 （ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
3.如图，在平面直角坐标系中， 的边AO,AB的中点C,D的横坐标分别是1,4，则OB=____________.
4.如图，D,E,F分别是 三边的中点，连接DE,AF交于点G.求证：DG= .
能力提升
5.如图，在 中， ，点D,E分别在边AB和BC上，且AD=4，CE=3，连接DE，点M,N分别是AC,DE的中点，连接MN，则MN的长度为 （ ）
A. B. C.2 D.
6.如图，在 中， ，AC=3，BC=4，点N在边BC上，M为AB边上一动点，D,E分别为CN,MN的中点，则DE的最小值是_____________.
7.如图，的周长为19，点D,E在边BC上，的平分线垂直于AE，垂足为N，的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为_________.
8.如图，的周长为a，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形（记为第1个），以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形（记为第2个），以此类推，则第2026个三角形的周长是_____________.
9.如图，点 D，E 分别是 Rt ABC两直角边 AB，AC 上的点，连接 BE，已知点 F，G，H 分别是 DE，BE，BC 的中点.
(1) 若 BD=CE，则 FG 与 GH 有什么数量关系和位置关系？请说明理由.
(2) 连接 CD，取 CD 的中点 M，连接 GM，若 BD=8，CE=6，求 GM 的长.
素养提优
10.【三角形中位线定理】
(1) 如图1，在 ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，直接写出DE和BC的关系.
【应用】
(2) 如图2，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=5，CD=3，EF=2，，求的度数.
【拓展】
(3)如图3，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF=EG.求证：BD=AC.
微专题 构造三角形中位线的方法
1.如图， ABC中， ，BE=CE，AD⊥BD，AB=5，AC=9，则DE的长为 （ ）
A.7 B.4 C.2 D.5
2.如图，在四边形ABCD中，AB=3，CD=5，E，F分别为AD，BC的中点，则EF长的取值范围是______________.
参考答案
基础提质
1.B 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线，∴ 三角形的中位线是线段，而不是射线，故选项 A 不符合题意，选项 B 符合题意；连接三角形的顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线，∴ 三角形的中位线、中线不是同一条线段，故选项 C 不符合题意；任意三角形都有三条中位线，故选项 D 不符合题意.故选 B.
2.B ∵ D,E 分别是 的边 AB,AC 的中点，∴ DE 是 的中位线， ，DE//BC，又∵ DE=2，∴ BC=4，∵ DE//BC，∴ ，∵ ，∴ ，∴ BE=BC=4．故选 B．
3.答案 6
解析 由题意得 CD 是 的中位线，∴ CD//OB， ，∵ OB 在 x 轴上，∴ CD//x 轴，∵ 点 C,D 的横坐标分别是 1,4，∴ CD=4-1=3，∴ OB=2CD=6．
4.证明 如图，连接 DF,EF,
∵ D,E 分别是 AB,AC 的中点，∴ DE 是 的中位线，∴ ，
∵ F 是 BC 的中点，∴ DE=BF，
∵ D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点，∴ DF,EF 是 的中位线，
∴ DF//AC,EF//AB，∴ 四边形 ADFE 为平行四边形，
∴ ，∴ .
能力提升
5.A 如图，连接 CD，取 CD 的中点 K，连接 MK,NK，∵ 点 M,N 分别是 AC,DE 的中点，∴ MK,NK 分别是 和 的中位线， ,NK//BC，MK= ， ，∵ AD=4，CE=4，∴ MK=2， ， ， ，， ，. 故选 A.
6.答案
解析 如图，连接 CM，
∵点 D,E 分别为 CN,MN 的中点，∴DE 是 的中位线， ，
当 时，CM 的值最小，此时 DE 的值也最小，
在 中，由勾股定理得 ，
，∴CM 的最小值为 ，
∴DE 的最小值为 .
7.答案
解析∵BN 平分， ，
在 和 中， ，
， 是等腰三角形，
同理可得 是等腰三角形，
∴ 点 N 是 AE 的中点，点 M 是 AD 的中点，∴ MN 是 的中位线，
， ，
.
8.答案
解析 如图，设 三边的中点分别为 D,E,F， 三边的中点分别为 G,H,I，
分别为 AC,AB 的中点，，同理可得 ， ，即 ，∴第1个三角形的周长是 周长的 ，同理可得 ，∴第2个三角形的周长是 周长的 ，以此类推，第n个三角形的周长是 周长的 ， 的周长为a，
∴第2026个三角形的周长是 ，即 .故答案为 .
9.解析 (1)FG=GH且 .
理由：∵F,G,H分别是DE,BE,BC的中点，
分别是 的中位线，
，
.
， ，
， ，
，
，且 .
(2)如图，连接HM，
分别是DC,BC的中点，是 的中位线，
，
由(1)得 ， ， ，
， ，
在 中，由勾股定理得 .
素养提优
10.解析(1) ,DE//BC.
详解：∵ 点D,E分别是边AB,AC的中点，∴ DE是 的中位线，
∴ , .
(2)如图所示，连接BD，
∵ E,F分别是边AB,AD的中点，∴ BD=2EF=4,EF//BD,
∴ ,
∵ BC=5,CD=3,∴ , ,
∴ ,∴ ,
∴ .
(3)证明：如图，取DC的中点H,连接MH,NH.
∵ M,H分别是AD,DC的中点，∴ MH是 的中位线，
∴ MH//AC且 ，
同理可得NH//BD且 .
∵ EF=EG, ∴ ，
∵ NH//BD, MH//AC,∴ , ，
∴ , ∴ MH=NH，∴ AC=BD.
技巧归纳 当图形中出现两条线段的中点时，可以考虑连接两个中点，构造出三角形的中位线，或者连接两中点所在线段的端点，构造出以这两个中点连线为中位线的三角形，根据三角形中位线定理解决问题.
微专题
1.C 如图，延长BD交AC于点F，
∵ AD BD,∴ ,
∵ ,AD=AD,∴ (ASA),
∴ BD=DF,AF=AB=5,∴ CF=AC-AF=9-5=4,
∵ BE=CE,∴ DE是 的中位线，
∴ .故选C.
2.答案
解析 如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，FH.
∵ H为AC的中点，E为AD的中点，∴ EH是 的中位线，∴ ，同理可得 ，
∵，∴.
故答案为.

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