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第五章 四边形
4 梯形
基础提质
知识点1 梯形的概念及分类
1.下列说法正确的是 （ ）
A.一组对边平行的四边形是梯形
B.有两个角是直角的四边形是直角梯形
C.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形
D.一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形
知识点2 等腰梯形的性质
2.下列说法错误的是 （ ）
A.等腰梯形的对角线相等 B.等腰梯形的腰相等
C.等腰梯形的底角相等 D.等腰梯形是轴对称图形
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AC与BD相交于点O，则图中的全等三角形共有 （ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
4.等腰梯形上、下底长分别为2cm和6cm，且两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为______________ .
知识点3 等腰梯形的判定
5.在四边形ABCD中，若，则这个四边形是 （ ）
A.平行四边形 B.等腰梯形 C.矩形 D.任意四边形
6.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，DB平分 ，过点A作 ，交CD的延长线于点F，若 .
(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形.
(2)当 ，AD=5时，求CD的长.
能力提升
7.如图，梯形ABCD是等腰梯形，AC，BD交于点O，AD=BC， ， 交AC的延长线于E， 交AD的延长线于F，下列结论：① ；② ；③ AD=DF；④ AC=CE+EF.其中正确的结论有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD， ，AD≠BC.
(1)求证：四边形ABCD是等腰梯形.
(2)当 时，求 的度数.
9.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，DE⊥BC，垂足为E，BE= .求证：AB=CD.
10.阅读材料，如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P.
求证： .
证明： ， .
解答问题：
(1)上述证明得到的性质可叙述为______________________________.
(2)如图2，等腰梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述性质求梯形的面积.
素养提优
11.【图形定义】连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.类似地，我们把连接四边形对边中点的线段叫作四边形的中位线.
例如：如图1，在四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是CD的中点，MN是四边形ABCD的中位线.
【方法探究】如图2，已知MN是△ABC的中位线，以点N为中心将△ABC旋转180° 得到 ,可证 .
【方法应用】
(1)如图3，MN是梯形ABCD的中位线，将梯形ABCD和中位线MN绕点N旋转180°. 若AD=3，BC=5，则MN=___________；若AD=a，BC=b，且，则MN=_________.
(2)如图4，MN是四边形ABCD的中位线.若AD=3，BC=5，求MN的取值范围.若AD=a，BC=b，且，求MN的取值范围.
参考答案
基础提质
1.C 梯形是指一组对边平行、另一组对边不平行的四边形，故A错误；有两个角是直角的梯形是直角梯形，故B错误；只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形，故C正确；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，故D错误.故选C.
2.C 等腰梯形的对角线相等，故A说法正确；等腰梯形的腰相等，故B说法正确；等腰梯形在同一底上的两个角相等，故C说法错误；等腰梯形是轴对称图形，故D说法正确.故选C.
3.C ∵ 四边形ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，BD=AC， ，在 和 中， ，，， ，
同理可得 ，在 和 中， ，
，∴全等三角形共有3对.故选C.
4.答案 16
解析 如图，四边形ABCD是符合题意的等腰梯形，过O点作梯形的对称轴EF，交AD于E，交BC于F，根据等腰梯形的对称性可知OA=OD，OB=OC，
又∵AC⊥BD， ， 为等腰直角三角形，易得 ， ， ， .故答案为16.
5.B 由题意得，该四边形满足 ， ， ， ，∴该四边形为等腰梯形，故选 B.
6.解析 (1)证明： 平分 ， .
， ， .
， .∴梯形 ABCD 是等腰梯形.
(2)由 (1) 得 ，
.
∵梯形 ABCD 是等腰梯形， ， .
能力提升
7.D 由四边形 ABCD 是等腰梯形易得 AC=BD，AB//CD， ， ，OC=OD， ， ，根据等腰梯形的对称性可知 ， ， ， ， ，故 ① 正确. ， ， ， ，故 ② 正确.在 中， ， ， ， ，∴点 O 是 AE 的中点，又 ， 是 的中位线，∴点 D 是 AF 的中点， ，故 ③ 正确. 是 的中位线， ， ， ，故 ④ 正确.综上，正确的有 4 个.故选 D.
8.解析 (1) 证明：如图，延长 BA，CD 交于点 P，
， ，
， ，即 PA=PD， ，
，
，即 ，
， ，
，∴四边形ABCD是梯形，
，∴梯形ABCD是等腰梯形.
(2)如图，连接BD，
， ，
， ， ， ，
， ，
， ， ，
， .
9.证明 如图，过点D作 交BC于点F，
， ，∴四边形ABFD为平行四边形， ，AB=DF，
，BE=BF+EF， ，
，
，∴DE垂直平分FC， ， .
10.解析 (1)对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
(2)∵四边形ABCD为等腰梯形， ，AB=CD，
又 ， ， , ,
在 中， ,
，同理可得 ,
, .
素养提优
11.解析 (1) 4; .
详解：由旋转的性质得, 且四边形、四边形、四边形 都是平行四边形，
, M'M'=AB'，
， ，
若 AD=3, BC=5, 则 ，
若 AD=a, BC=b, 则 ，
故答案为 4; .
(2) 如图，以 N 为中心，将四边形 ABCD 及中位线 MN 旋转 ，得到四边形 A'B'DC 和中位线 M'N，连接AB', BA', 则四边形 ABA'B'、四边形 AMM'B'、四边形 MM'A'B 都是平行四边形，
, ,
(A, D, B' 在同一直线上时，等号成立），
，即 ，
若 AD=3, BC=5, 则 ，即 ，
若 AD=a, BC=b, 且 , 则 .

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