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第五章 四边形
问题解决活动：正难则反
在解决问题时，若正面处理较为复杂，我们可以考虑从相反的方向出发，先求出或证明其对立面，将正向求解转化为反向排除，得到所求的问题或结论.反证法就是“正难则反”的典型应用.
1.我们用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”时，应先假设（ ）
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形不是平行四边形
C.对角线不互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线不互相平分的四边形不是平行四边形
2.已知 中，AB=AC，求证： ，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①因此假设不成立， ；
② ，这与三角形的内角和为 相矛盾；
③假设在 中， ；
④由AB=AC，得 ，即 .这四个步骤正确的顺序应是 （ ）
A.④③①② B.①②③④ C.③④②① D.③④①②
3.用反证法证明命题“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”.将下面的过程补充完整.
已知：如图， 是 的一个外角.
求证： .
证明：假设____________________________.
在 中， ，
∴_________________ .
________________ ，
_____________. _______________.
与假设相矛盾，∴假设不成立..
4.如图，在 中，AB>AC，AD是 的平分线，AM是BC边上的中线.用反证法说明点M与点D不重合.
5.设是不全相等的任意有理数，若 ， ， .求证：的值中至少有一个大于零.
参考答案
1.C 用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”时，应先假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形.故选C.
2. C
3.答案 ； ； ； ；
4.解析 假设点 M 与点 D 重合.如图，延长 AM 到 N，使 AM=MN,连接 BN.
是 BC 边上的中线， ，
在 和 中， ，
，BN=AC，
是 的平分线，点 M 与点 D 重合，
， ， ，
与 相矛盾，∴ 假设不成立，
∴ 点 M 与点 D 不重合.
5.证明 假设 x,y,z 的值都不大于零，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，
若 ，则与 不全相等相矛盾，
若 ，这与偶次方的非负性相矛盾，所以假设不成立，
所以 的值中至少有一个大于零.

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