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鲁科版五四制数学七年级上册期末检测题
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是 （ ）
2.下列各式不能用公式法进行因式分解的是 （ ）
3.若一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形
4.把分式 中的x和y的值都扩大为原来的2倍，分式的值（ ）
A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.缩小为原来的 D.扩大为原来的4倍
5.已知一组数据：x ,x ,…,x 的平均数是5，方差是3，则数据 ， 5, , 的平均数和方差分别是 （ ）
A. 5,3 B. 20,3 C. 20,27 D. 5,27
6.某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了21天完成全部任务.设原计划每天生产x个足球，根据题意可列方程为 （ ）
7.在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投10次，命中次数如图所示，则下列说法正确的是 （ ）
A.男生投篮水平比女生投篮水平高
B.男生、女生投篮命中次数的极差相等
C.男生、女生投篮命中次数的中位数均为6
D.男生、女生投篮水平相当，但女生投篮水平比男生稳定
8.如图1，风力发电机的三个相同的叶片两两夹角为120°.如图2，以旋转中心O为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点A的坐标为(10,10).若叶片每秒绕点O顺时针旋转90°，则第2026秒时叶片尖点A的坐标为 （ ）
A. (10,10) B.(-10,10) C.(10,-10) D.(-10,-10)
9.如图,F是 ABCD的边CD上的点,Q是BF的中点，连接CQ并延长交AB于点E,连接AF,DE,相交于点P,若 ， ，则阴影部分的面积为 （ ）
A. 24cm B. 17cm C. 18cm D. 10cm
第9题图 第10题图
10.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,D,E是边BC上的两点,BD=CE=1,P是线段DE上一动点，过点P分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,连接MN,AP，交于点G，连接BG，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为（ ）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.分式 ， ， ， 中，最简分式有__________个.
12.对于分式 ，当x=3时，分式的值为0，当x=-2时，分式无意义，则
13.如图，在平行四边形ABCD中,∠B=60°,AB=8cm,AD=10cm,点P在边BC上从B向C运动，点Q在边DA上从D向A运动，如果P,Q运动的速度均为每秒1cm，那么当运动时间为___________秒时，四边形ABPQ是直角梯形.
14.如图，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点,F为OC的中点，连接EF交OB于点M.若OM=2,则BD的长为____________.
15.如图，在一个长方形公园ABCD中,AD=40m,AB=80m,凉亭P在BC的中点处，社区计划在公园边缘CD上设计一个宽为20m的出入口EF（点E在点F左侧），并将AE,AP,PF改建为跑道以供居民锻炼.为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形APFE的周长最小，则此时FC的长为____________m.
三、解答题（共75分）
16.（8分）(1)分解因式：
(2)解分式方程：
17.（9分）(1)化简：
(2)先化简： ，再从-3，-2，-1，0，1中选取一个合适的数代入求值.
18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1,△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(-3,-1).
(1)先将△ABC向上平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度得到△，画出△,并写出点C 的坐标.
(2)将△绕点B 逆时针旋转90°,得到△,画出△,并写出点C 的坐标.
(3)我们发现点C,C 关于某点中心对称，对称中心的坐标是__________.
19.（8分）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A,B,C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功.为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答活动，八年级1班的两组学生的成绩（单位：分）如下：
甲组:60,70,70,80,87,89,91,94,95,97,99,100.
乙组:70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96.
两组学生成绩的统计表（单位：分）：
小组 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值
甲组 86 b 157.5 60 c d 96 100
乙组 a 93 62.7 70 80 90 e 96
两组学生成绩的箱线图：
根据以上信息回答下列问题：
(1)表格中.
(2)请补全两组学生成绩的箱线图.
(3)基于上述材料分析，可以发现哪组学生成绩较好？请说明理由.
20.(10分)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长至F,使BF=BE,连接EC并延长至G,使CG=CE,连接FG. H为FG的中点，连接DH和AF.
(1)求证：四边形AFHD为平行四边形.
(2)若CB=CE,∠EBC=75°,∠DCE=10°,求∠DAB的度数.
21.〔10分〕随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A,B两种型号的清洁机器人，每台A型机器人比每台B型机器人平均每小时少清扫3平方米，一台A型机器人清扫60平方米所用时间是一台B型机器人清扫33平方米所用时间的2倍.
(1)每台A型机器人和每台B型机器人平均每小时分别清扫多少平方米？
(2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人的价格为2 000元/台，B型机器人的价格为3 000元/台.公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本.
22.(10分)如图，在△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,将此三角形向右平移得到,与AC相交于点D,连接AA .
(1)若∠BAC=56°,求∠B DC和∠A AB的度数.
(2)若B 落在边BC的中点处，且AD=DC=3,求四边形ABB D的面积.
(3)已知点P在△ABC的内部,△ABC平移到△A B C 的位置后，点P的对应点为点P ,连接PP .若△ABC的周长为a,四边形的周长为a+10,求PP 的长度.
23.(12分)我们在学习平行四边形时，利用倍长中线的方法研究了三角形的中位线，请据此思考下面的问题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是边CD上一点，且AE=EF.
(1)求证:∠BAE=∠EFC.
(2)如图2，若点F是边CD的中点，点G为AE的中点，连接FG，求证：
(3)如图3,若点F是边CD的中点，连接AC,求证:AC=BC.
参考答案
1. D 2. A
3. D 设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=3×360°,解得n=8,∴这个多边形是八边形.故选D.
4. B 将x和y的值都扩大为原来的2倍，则原分式变头 ，∴分式的值扩大为原来的2倍，故选B.
5. C ∵x ,x ,…, xn|的平均数是5，方差是3,∴数据3x +5,3x +5,…,3xn+5的平均数为5×3+5=20，方差为 ，故选C.
6. B
7. D 男生投篮命中次数从小到大排列为2,4,5,6,8,女生投篮命中次数从小到大排列为3，4，5，6，7，则男生投篮命中次数的平均数为 ，方差为 4，女生投篮命中次数的平均数为 ，方差为 ，∵5=5,4>2,∴男生、女生投篮水平相当，但女生投篮水平比男生稳定，故A说法错误，D说法正确；男生投篮命中次数的极差为8-2=6，女生投篮命中次数的极差为7-3=4，故B说法错误；男生投篮命中次数的中位数为5，女生投篮命中次数的中位数为5,故C说法错误.故选D.
8. D ∵叶片每秒绕原点 O顺时针转动90°,A(10,10),∴第1,2,3,4秒的坐标分别为(10,-10),(-10,-10),(-10,10),(10,10),∴点A的坐标以每4秒为一个周期进行循环，∵2 026÷4=506……2,∴第2026秒时，点A的坐标与第2秒时的坐标相同，∴第2 026秒时，点A的坐标为(-10,-10).故选D.
9. C 如图，连接EF,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴BE∥CF, P∴∠EBF=∠CFB,∠BEC Q=∠FCE,∵Q是BF的中点,∴BQ=FQ,∴△EBQ≌△CFQ,∴EQ=CQ,∴四边形EBCF是平行四边形， ， ， ， ，故选C.
10. B 如图，取AB的中点F, A AC的中点H,连接FG,HG,
则AF=BF,AH=CH,∵ PM∥AC,PN ∥AB,∴ 四边形AMPN是平行四边形,∴AG=PG,∴FG∥BP,HG∥CP,即FG∥BC,HG∥BC,∴F,G,H三点在同一条直线上，∴点G在△ABC的中位线FH上运动，过A作AQ⊥BC于点Q,交FH于L,则,连接 AD,AE 分别交 FH 于点 I,R,连接 BR,BI,∵ 当点 P 分别与点 D,Q,E 重合时，点 G 分别与点 I,L,R 重合，∴ 点 P 由点 D 移动到点 E 的过程中，线段 BG 扫过的区域面积为 的面积， ，且 ，故选 B.
11.答案 2
解析 ，不是最简分式， 是最简分式，共 2 个.
12.答案 1
解析 ∵ 当 x=3 时，分式的值为 0， ① ，∵ 当 x=-2 时，分式无意义， ② ，联立① ② 得， 解得 .
13.答案 7
解析 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ，如图，过点 A 作 于 A，QD，
∴ 当 时，四边形 ABPQ 是直角梯形， ， ， ，设运动时间为 t 秒，∵ P,Q 运动的速度均为每秒 1 cm， , , ， 四边形 AEPQ 是平行四边形， ，即 10-t=t-4，解得 t=7，∴ 当运动时间为 7 秒时，四边形 ABPQ 是直角梯形.
14.答案 16
解析 如图，连接 EO 并延长，交 CD 于 G，连接 GF，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ，∵ E 为 AB 的中点， ， ，∴ 四边形 AEGD 和四边形 BCGE 是平行四边形， , ，∵ F 为 OC 的中点， ， ， ， ， , ， ， ，易得 OM 为 的中位线， ， ， .
15.答案 20
解析 ∵ P 在 BC 的中点处， ，∵ 四边形 ABCD 是长方形，AB=80 m， ，∵ EF=20 m，∴ 四边形 APFE 的周长为 AE+AP+PF+EF=AE+PF+20+ ，要使四边形 APFE 的周长最小，则需满足 AE+PF 的值最小，如图，在 G，边 AB 上取一点 H，使得 AH=EF=20 m，作点 H 关于 D CD 的对称点 G，连接 FH，GH,GP,GF,
则，由 M P轴对称的性质可知 FH=GF，在长方形 ABCD 中，A H ，即 ，又 ∵ AH=EF=20 m，∴ 四边形 AEFH 是平行四边形， ，当且仅当 G,F,P 三点共线，即点 F 与 F' 重合时，GF+PF 取得最小值，最小值为 GP 的长，过点 P 作 于点 M，则 ，由平行线间的距离相等可得，MH=PB=20 m，同理可得，PM=BH=AB-AH=60 m，∵ GM=GH-MH=80-20=60(m)， ，则 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， .故答案为 20.
16.解析（1） .
（2）① ，
去分母，得3(x-1)=6，
两边同时除以3，得x-1=2，
移项，得x=3，
经检验，x=3是原方程的解.
② ，
去分母，得3+2(4-x)=-(1-x)，
去括号，得3+8-2x=-1+x，
移项、合并同类项，得-3x=-12，
系数化为1，得x=4，
检验：当x=4时，4-x=0，
∴原分式方程无解.
17.解析（1）原式 =16.
（2）原式
，
∵a(a-1)≠0,a(a+2)≠0,a+1≠0,4a-6≠0，
∴a≠0,a≠±1,a≠-2, ，∴a只能取-3，
当a=-3时，原式 .
18.解析（1）如图， 即为所求， .
（2）如图， 即为所求， .
（3）如图，连接 ，易得点 关于点(-1,-1)中心对称，
∴对称中心的坐标为(-1,-1).
19.解析（1）乙组学生成绩的平均数 ，∴a=87；
甲组学生成绩的众数为70，第一四分位数为 ，中位数为 ，∴b=70，c=75，d=90，乙组成绩的第三四分位数为 ，∴e=93.
故答案为87;70;75;90;93.
（2）补全箱线图如图.
（3）乙组学生的成绩较好，
理由：因为乙组学生成绩的平均数大于甲组学生成绩的平均数，且乙组学生成绩的方差小于甲组学生成绩的方差，所以乙组学生成绩较好.（答案不唯一）
20.解析（1）证明：∵BF=BE，CG=CE，∴BC为 的中线，
∴BC//FG， ，
∵H是FG的中点，∴ ，∴BC=FH.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴AD//FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ，
∵CE=CB，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ .
21.解析（1）设每台A型机器人平均每小时清扫x平方米，则每台B型机器人平均每小时清扫(x+3)平方米.
由题意，得 ，解得x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，∴x+3=33，
∴每台A型机器人平均每小时清扫30平方米，每台B型机器人平均每小时清扫33平方米.
（2）设购进n台A型机器人，则购进(20-n)台B型机器人.
由题意，得30n+33(20-n)≥630，解得n≤10，
设总成本为w元，则w=2000n+3000(20-n)=-1000n+60000，
∵ -1000<0，n 10，∴当n=10时，w的值最小，为-1000×10+60000=50000，此时20-n=10，
∴购买10台A型机器人，10台B型机器人，能使总成本最低，最低成本为50000元.
22.解析（1）根据平移的性质可得 ，
， ，
.
（2） 为BC的中点， ，
， .
，∴四边形 的面积= 的面积- 的面积
（3）根据平移的性质可得 ，AC= .
的周长为a， .
∵四边形 的周长为a+10，
∴四边形 的周长= ，
23.证明（1）如图，延长FE交AB的延长线于点P.
∵四边形ABCD是平行四边形， . .
∵点E是边BC的中点， .
在 和 中， ，
，
， ， .
（2）如图，连接AF并延长，交BC的延长线于点Q.
∵四边形ABCD是平行四边形， . .
∵点F是边CD的中点， .
在 和 中， ，
.
∵点G是AE的中点， 是 的中位线. .
∵点E是边BC的中点， .
（3）如图，连接AF.
由（1）得， .
， ， ，
即 .
， ，
， ，
∵点F是边CD的中点， .
，CF=DF， ， ，
， .

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