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期末专项复习
四边形
考点1 平行四边形的性质
1.如图，在 ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，下列结论：①AB//DC；②EO=ED；③∠A=∠C；④ = .其中正确结论的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图，在 ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G.
(1)求证：BE⊥CF.
(2)若AB=5，CF=6，求BE的长.
考点2 平行四边形的判定
3.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD（如图）是平行四边形的是____________（填序号）.
①AB=CD，AD=BC；②AD=BC，AD//BC；③AB=CD，∠ABC=∠ADC；④OA=OC，OB=OD.
4.图1是一款折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC=EF=CG=50cm，BD=20cm，GF=80cm，∠ABD+∠GFE=180°，∠AGF=90°，已知BD//CE//GF.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形.
(2)求椅子最高点A到地面GF的距离.
5.在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF，CE.
(1)如图1，求证：四边形AECF是平行四边形.
(2)如图2，连接BD，分别交线段AF，CE于点G，H，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中的全等三角形（△ABD≌△CDB除外）.
考点3 三角形的中位线
6.如图， ABCD中，∠C=120°,AB=8,AD＞AB,H,G分别是CD,BC上的动点，连接AH,GH,E,F分别为AH,GH的中点，则EF的最小值是 （ ）
A.4 B.5 C.4 D.2
7.如图，在△ABC中，∠C=120°,AC>BC>5,E,F分别是边AC,BC上的点，且AE=BF=5,连接EF.分别取EF,AB的中点M,N，并连接MN，则MN的长为___________.
8.如图，在△ABC中，BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,M,N分别是OB,OC的中点，连接ED,EM,MN,DN.
(1)求证：四边形DEMN是平行四边形.
(2)求证：BD=3OD.
考点4 梯形
9.如图，梯形ABCD中，∠B=∠C=90°,E是BC的中点，DE平分∠ADC,以下说法：①∠CDE=60°;②DE⊥AE;③AD＜CD+AB;④ .其中正确的是（ ）
A.①②④ B.③④ C.①②③ D.②④
10.如果一个等腰梯形的一个底角为120°，上底长为3，下底长为5，则其腰长为____________.
考点5 多边形的内角和与外角和
11.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β= （ ）
A.140° B.150° C.160° D.170°
12.如图，在正五边形ABCDE的外部，以AB为边作正六边形 ，连接CF，则∠BCF的度数为___________.
13.如果一个多边形的内角都相等，并且满足其中一个内角的度数是与其相邻的外角度数的整数倍，就称这个多边形为“整数多边形”.已知一个“整数多边形”的一个内角的度数是与其相邻的外角度数的5倍，求这个“整数多边形”的边数及内角和.
参考答案
1.C ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
，故①③正确，
∵点 O 是 BD 的中点， ，
又 ， ， ，EO=FO，
但 EO 不一定等于 ED，故②不正确，
， ，
即 ，故④正确.
综上所述，正确结论的个数为 3，故选 C.
2.解析（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ，
，
∵BE平分 ，CF 平分， ， ，
，， .
(2) 如图，过点 E 作 ，交 BC 的延长线于点 H.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=5，，AD=BC， ，
，
∵ BE 平分 ， ， ，
，同理可得 DF=DC=5，
，
， ，∴ 四边形 FCHE 是平行四边形，
，EH=FC=6，
， ，
， ，，，
.
3.答案 ③
解析 ① ，AD=BC，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
② ， ，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
③ 由 AB=CD， 不能判定四边形 ABCD 是平行四边形；
④ ，OB=OD，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
故答案为③
4.解析（1）证明： ，， ，
， ， ，
∴ 四边形 BCED 是平行四边形.
（2）∵ 四边形 BCED 是平行四边形，，
如图，延长 AC 交 GF 于 H，
由（1）可得， ， ，
∴ 四边形 CHFE 是平行四边形，，HF=CE=20cm，
，GH=GF-HF=60cm，
，，
即椅子最高点 A 到地面 GF 的距离为 80 cm.
5.解析（1）证明：∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，，AD=BC，
∵ E,F 分别为 AD,BC 的中点，， ，
，
又∵ AE//CF，∴ 四边形 AECF 为平行四边形.
（2） ， ， ， .
详解：由（1）可知，BF=DE，四边形 AECF 是平行四边形， ，
， ，
， ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
，AB=CD，AB//CD，AD//BC，
， ，
在 和 中， ,
,
同理， ，
在 和 中，
，同理， .
6.D 如图，连接AG，过点A作 于N，
∵ 四边形ABCD是平行四边形， ，，
， ，
， ， ，
∵E,F分别为AH,GH的中点， ，∴当AG取最小值时，EF的值最小，当 时，AG有最小值，此时点G与点N重合，
∴AG的最小值为 ，∴EF的最小值为 ，故选D.
7.答案
解析 如图，连接FN并延长，使ND=NF，连接AD,ED，
∵N为AB的中点，∴AN=BN，
， ，
， ， ， ，
， ，
，AE=BF，∴AE=AD， 为等边三角形，∴DE=AE=5，
∵M为EF的中点，ND=NF， .
8.证明 (1)∵BD,CE分别是边AC,AB上的中线，
∴D是AC的中点，E是AB的中点，∴DE是 的中位线，
∴DE//BC，且 ，
∵M,N分别是OB,OC的中点，∴MN是 的中位线，
∴MN//BC，且 ，∴DE//MN，DE=MN，∴四边形DEMN是平行四边形.
(2)∵四边形DEMN是平行四边形，∴OD=OM，
∵M是OB的中点，∴OM=BM，∴BM=OM=OD，∴BD=3OD.
9.D 如图，过点E作 于点F，则 ，
， ，∵DE平分 ，
，又∵DE=DE， ，
∴EF=EC， ，DF=CD，
∵E是BC的中点，∴EB=EC，∴EF=EC=EB，
，AE=AE，∴ ，
∴AF=AB， ，∴AD=DF+AF=CD+AB，故③错误；
， ，即 ， ，故②正确；
， ， ， ，即 ，故④正确；
根据已知条件不能证明 ，故①错误.综上，正确的结论为②④，故选D.
10答案 2
解析 如图，过点A作AE//DC交BC于点E，
因为四边形ABCD为等腰梯形，∴AD//BC，AB=CD，由题意得， ， ，
，AD//BC，∴四边形AECD为平行四边形，
∴EC=AD=3，AE=CD，
∴BE=BC-EC=2，AB=AE，
∴△ABE为等边三角形，∴AB=BE=2，即等腰梯形的腰长为2.
11.B 如图，
在正方形中， ，在正六边形中， ，
， ，
，故选B.
12.答案
解析 ∵ 多边形 ABCDE 是正五边形， ，
∴多边形 是正六边形， ，
，即 是等腰三角形.
，
.
13.解析 设该“整数多边形”的边数为 n，则其内角和为 ，
∵“整数多边形”的每个内角都相等，
∴ 这个“整数多边形”的每个外角都相等，
∵“整数多边形”的一个内角的度数是与其相邻的外角度数的 5 倍，多边形的外角和为 ，
∴ 这个“整数多边形”的内角和为 ，
则 ，解得 n=12.
故该“整数多边形”的边数为 12.

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