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8.1.2　样本相关系数
课标要求 素养要求
1、了解样本相关系数的统计含义 2、结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性 1、通过公式的推导，培养学生的数据分析能力 2、通过实例探究，培养学生的数学建模能力
知识回顾
1.变量间的相关关系是什么？
两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
2.散点图是什么？
成对样本数据可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图。
3.变量相关关系的分类是什么？
线性相关（正相关、负相关）、非线性相关
小组作业展示
第一组：某零售公司的销售总额（单位千万元）与净利润（单位千万元）之间有如下表对应数据。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
销售总额 (x) 5 9 13 16 18 22 25 28
净利润（y) 2 5 7 12 17 20 22 27
第二组：某中学体育老师为了研究“运动时长（min)”对“体能水平”的影响，随机选取了8名学生，记录他们每日平均运动时间，并在一个月后进行体能测试（满分30分)。具体情况如下表所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
运动时长 (x) 5 10 13 16 18 21 25 28
测试分数 (y) 8 14 18 10 23 16 30 25
第三组：某电动自行车实验室测试了相同时间内电动车的车速（km/h)与续航里程(km)之间的关系，具体实验数据如下表所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
车速（x） 5 10 15 18 22 25 27 30
续航里程 (y) 26 21 17 13 9 6 3 1
第四组：某单位调查了本单位员工某月晚餐点外卖次数与在家做饭次数之间的关系，具体数据如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
点外卖次数（x) 2 5 8 12 18 22 25 28
做饭次数（y) 27 15 21 14 10 6 2 1
画出散点图
找到这一点，并用红笔描出
（3）根据散点图判断x与y的关系，你从中可以得出什么结论？
引入：　散点图可以说明变量间有无线性相关关系，但无法量化两个变量之间的相关程度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如何才能寻找到这样一个合适的量来对样本数据的相关程度进行定量分析呢？
新知探究
1．相关系数r的计算
注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量
假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，
对数据作进一步的“标准化处理”处理，用sx＝，sy＝分别除xi－和yi－ (i＝1，2，…，n，和分别为x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值)，得，，…，，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为(x1′，y1′)，(x2′，y2′)，…，(xn′，yn′)，则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
r＝(x1′y1′＋x2′y2′＋…＋xn′yn′)
＝.
相关系数r的性质
下图是不同成对变量样本数据的散点图和它的样本相关系数r,
（1）你能归纳出r的取值范围吗？
（2）两变量正、负相关的分界是什么？
（3）r的大小和他们的线性相关程度有怎样的关系？
(1)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系．
(2) 样本相关系数r的取值范围为[－1，1]．
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
课堂练习
[判断]
1．回归分析中，若r＝±1说明x，y之间具有完全的线性关系．(√)
2．若r＝0，则说明成对样本数据间是函数关系．(×)
提示　若r＝0，则说明成对样本数据间没有线性相关关系．
3．样本相关系数r的范围是r∈(－∞，＋∞)．(×)
提示　样本相关系数的范围是[－1，1]．
[选择]
1．下面对相关系数r描述正确的是(　　)
A．r>0表明两个变量负相关
B．r>1表明两个变量正相关
C．r只能大于零
D.越接近于0，两个变量相关关系越弱
解析　因r＞0表明两个变量正相关，故A错误；又因 r∈[－1，1]，故B，C错误；两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强， r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故D正确．
答案　D
2．(多选题)下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是 (　　)
解析　因为相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越高，且r＞0时正相关，r＜0时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A，C，D均符合．故选ACD.
答案　ACD
[思考]
当r＝1或－1时，两个变量的相关性如何？
提示　当r＝1时，两个变量完全正相关；当r＝－1时，两个变量完全负相关.
[计算]
请计算出课前任务中外卖次数与做饭次数之间的样本相关系数r (保留两位小数）。参考数据：，,
参考公式：
数学建模活动
向学生介绍SPSS统计学软件，并在课堂上带领学生进行数学建模活动
提出问题：数学成绩好是更容易提高物理成绩还是更容易提高语文成绩
问题转化：数学成绩与物理成绩的相关系数、数学成绩与语文成绩的相关系数哪个大？
数据收集：全班同学第一次月考的数学成绩、物理成绩与语文成绩
数学模型建立：皮尔逊相关系数模型
统计计算：利用SPSS进行样本相关系数计算
得出结论：分析计算结果、得出结论。
课堂小结
样本相关系数公式
2、相关系数的性质：
① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关.
② |r|≤1；
③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上.
注：若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强；
若0.3≤|r|<0.75，则认为y与x的线性相关程度一般；
若|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关程度较弱)
课后作业
基础作业：完成书上课后习题2、3、4题
拓展作业：自己提出一个感兴趣的问题，收集数据、处理数据，找到两个变量，建立模型，分析他们的相关性。

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