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第 18 章 分式
18.3 分式的约分和通分
1、如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式
为“和谐分式”。下列分式中，是“和谐分式”的是____。
1 2 + 2 2
① 2 ② 2 2 ③ 2 2 ④ + 1 ( + )2
答案：②
解析：
1
①分式 2 ：分子、分母均无法继续因式分解，不满足“分子或分母可以因式分解”的条件， + 1
不是和谐分式；
2
②分式 2 2：分母可因式分解为 ( + )( )，分式为最简分式，无法约分，是和谐分式；
+
③分式 2 2：分母可因式分解为 ( + )( )，分子分母含有公因式 + ，可以约分，
不是最简分式，不是和谐分式；
2 2
④分式 2：分子可因式分解为 ( + )( )，分子分母含有公因式 + ，可以约分，( + )
不是最简分式，不是和谐分式。
3 1
2、分式 2 2， 2 ， 2 的最简公分母是____________________。 +
答案：2 ( + 1)( 1)
解：先对各分母因式分
2 2 = 2( 1)， 2 + = ( + 1)， 2 = ( 1)
取所有因式的最高次幂相乘，可得最简公分母为 2 ( + 1)( 1)。
3 1 4 + 20
3、若关于 的不等式组 < + 22 有且仅有 3个整数解，且分式 2 的值是一
2( + 1) ≥ + 25
个整数，则满足条件的所有整数 的和为____。
答案：13
3 1
解：解不等式 < + 22 ，得：
< 5
2
解不等式 2( + 1) ≥ + ，得： ≥ 3
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第 18 章 分式
2
∴ 不等式组的解集为 3 ≤ < 5
∵ 不等式组有且仅有 3个整数解
2
∴ 整数解为 2、3、4，即 1 < 3 ≤ 2
解得：5 < ≤ 8
4 + 20 4( + 5) 4
化简分式： 2 = = ( ≠± 5) 25 ( + 5)( 5) 5
∵ 分式的值为整数，且 为整数，5 < ≤ 8
∴ = 6 或 = 7
整数 的和为：6 + 7 = 13
4、甲工程队完成一项工程需要 天，乙工程队要比甲工程队多用 8天才能完成这项工程，
设工作总量为 1，分别写出表示甲、乙两工程队平均每天完成的工作量的式子，若两式的分母
不同，则进行通分。
解：由题意可知，乙工程队完成工程需要 ( + 8) 天。
1
甲工程队日均工作量：
1
乙工程队日均工作量： + 8
1 + 8 1
两个分式分母不同，最简公分母为 ( + 8)，通分结果为： = ( + 8)， + 8 = ( + 8)
5、我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式
4 2 8 4 ( 2) 4 2 8
称为这个分式的“巧整式”。例如： = = 4 2 2 ，则称分式 2 是“巧分式”，
4 为它的“巧整式”。根据上述定义，解决下列问题。
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________(填序号)
( 1)(2 3)( + 2) 2 + 5 2 2
① ( 1)( + 2) ② + 3 ③ +
答案：①③
解析：
( 1)(2 3)( + 2)
① ( 1)( + 2) = 2 3，2 3 是整式，是巧分式；
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第 18 章 分式
2 + 5
② + 3 是最简分式，无法约分为整式，不是巧分式；
2 2 ( )( + )
③ + = + = ， 是整式，是巧分式。
2 4 +
(2)若分式 + ( , 为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 7，求 ， 的值。
解：由题意得：( + )( 7) = 2 4 +
展开左边得： 2 + ( 7) 7 = 2 4 +
根据多项式对应项系数相等可得方程组： 7 = 4 解得： = 3 7 = ， = 21 ，∴ = 21， = 3
2 3 + 2 2 3 + 4 2 + 2
(3)若分式 的“巧整式”为 1 ，请判断 是不是“巧分式”，并说明理
由。
解：该分式是“巧分式”，理由如下：
2 3 + 2
∵ 的巧整式为
1
2 3 + 2 2 ( 2 1) 2 ( + 1)( 1)
∴ = = = = 2 ( + 1) = 2 2 + 2
1 1 ( 1)
将 = 2 2 + 2 代入分式化简：
2 3 + 4 2 + 2 2 ( 2 + 2 + 1) 2 ( + 1)2
2 = = = + 12 + 2 2 ( + 1) 2 ( + 1)
2 3 + 4 2 + 2
∵ + 1 是整式，∴ 分式 是“巧分式”
2 4 2
6、若 2 = 3，则 2 的值是____。 2
答案：4

解：设 = = ( ≠ 0)，则 = 2 ， = 3 2 3
( + 2 )( 2 ) + 2
原式= ( 2 ) =
代入 = 2 ， = 3 ：
2 + 6 8
原式= = = 42 2
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第 18 章 分式
4( ) + 8
7、已知 + = 3，则代数式 的值是____。
2 + 2 + 2
4
答案：3
4 4 + 8 4 + 4 4( + ) 4
解：原式= = = =
( + )2 ( + )2 ( + )2 +
∵ + = 3
4
∴ 原式= 3
8、已知 2
1
5 + 1 = 0，则 ( )2 =____。
答案：21
解：∵ 2 5 + 1 = 0，且 ≠ 0
1 1
方程两边同时除以 得： 5 + = 0，即 + = 5
1 1
由完全平方公式变形：( )
2 = ( + )
2 4
代入得：原式= 52 4 = 25 4 = 21
2 2 ( + )
2
9、已知 4 + = 0，则 的值是____。
( )2
答案：3
解：∵ 2 4 + 2 = 0，∴ 2 + 2 = 4
2 + 2 + 2 4 + 2 6
原式= 2 2 ，将
2 + 2 = 4 代入：原式=
2 + 4 2
= 2 = 3
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18.3 分式的约分和通分
1、如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式
为“和谐分式”。下列分式中，是“和谐分式”的是____。
1 2 + 2 2
① 2 ② ③ ④ + 1 2 2 2 2 ( + )2
3 1
2、分式 2 2， 2 ， 2 的最简公分母是____________________。 +
3 1
3、若关于 的不等式组 < + 2
4 + 20
2 有且仅有 3个整数解，且分式 2 的值是一
2( + 1) ≥ + 25
个整数，则满足条件的所有整数 的和为_________。
4、甲工程队完成一项工程需要 天，乙工程队要比甲工程队多用 8天才能完成这项工程，
设工作总量为 1，分别写出表示甲、乙两工程队平均每天完成的工作量的式子，若两式的分母
不同，则进行通分。
5、我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式
4 2 8 4 ( 2) 4 2 8
称为这个分式的“巧整式”。例如： = = 4 2 2 ，则称分式 2 是“巧分式”，
4 为它的“巧整式”。根据上述定义，解决下列问题。
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________(填序号)
( 1)(2 3)( + 2) 2 + 5 2 2
① ( 1)( + 2) ② + 3 ③ +
2 4 +
(2)若分式 + ( , 为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 7，求 ， 的值。
2 3 + 2 2 3 + 4 2 + 2
(3)若分式 的“巧整式”为 1 ，请判断 是不是“巧分式”，并说明理
由。
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第 18 章 分式
2 4 2
6、若 2 = 3，则 2 的值是____。 2
4( ) + 8
7、已知 + = 3，则代数式 2 2 的值是____。 + 2 +
1
8、已知 2 5 + 1 = 0，则 ( )
2 =____。
( + )2
9、已知 2 4 + 2 = 0，则 的值是____。
( )2
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