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第 18 章 分式
18.7 分式方程及其解法
1 1 1
1、对于实数 , ，定义一种新运算： = 2，例如：1 3 = 2 = 8， 1 3
2
则方程 ( 2) = 4 1 的解是( )
A. = 4 B. = 5 C. = 6 D. = 7
答案：B
1 1
解：根据新运算定义可得： ( 2) = =
( 2)2 4
1 2
原方程可化为： 4 = 4 1
方程两边同乘 ( 4) 去分母得：
1 = 2 ( 4)
去括号、移项、合并同类项：
1 = 2 + 4
= 6 1
解得： = 5
检验：当 = 5 时， 4 ≠ 0，故 = 5 是原分式方程的解。
2 3
2、点 ， 在数轴上对应的数分别为 3 ， + 1，且点 ， 关于原点对称，则 的值是
( )
7
A. 5 B. 5 C. 7 D. 11
答案：D
2 3
解：数轴上关于原点对称的两个数互为相反数，因此：3 + + 1 = 0
方程两边同乘最简公分母 (3 )( + 1) 得：2( + 1) + 3(3 ) = 0
去括号：2 + 2 + 9 3 = 0
合并同类项： + 11 = 0
解得： = 11
检验：当 = 11 时，(3 )( + 1) ≠ 0，故 = 11 是原分式方程的解。
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第 18 章 分式
+ 1
3、已知关于 的分式方程 + 1 1 + = 2 的解为负数，则 的取值范围是( )
A. < 3 B. > 3 C. < 3 且 ≠ 2 D. > 3 且 ≠ 4
答案：C
解：方程两边同乘 ( + 1) 得： + 1 = 2( + 1)
去括号、移项整理： + 1 = 2 + 2
= 3
∵ 分式方程的解为负数
∴ < 0，即 3 < 0，解得 < 3
又 ∵ 分式分母不为 0，即 + 1 ≠ 0
∴ 3 ≠ 1，解得 ≠ 2
综上： < 3 且 ≠ 2

4、如果关于 的分式方程 + = 21 1 无解，那么实数 的值是( )
A. = 1 B. = 1 C. = 1 或 = 1 D. ≠ 1且 ≠ 1
答案：C

解：原方程变形为： + = 2 1 1
方程两边同乘 ( 1) 得：
+ = 2( 1)
整理得：( + 1) = 2
分式方程无解分两种情况：
①整式方程无解：令系数为 0， + 1 = 0，解得 = 1
②整式方程的解为增根：最简公分母 1 = 0，即 = 1
将 = 1 代入 ( + 1) = 2 得： + 1 = 2，解得 = 1
综上， = 1 或 = 1
5、先阅读下面的材料，然后回答问题：
1 1 1
方程 + = 2 + 2 的解为 1 = 2， 2 = 2
1 1 1
方程 + = 3 + 3 的解为 1 = 3， 2 = 3
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第 18 章 分式
1 1 1
方程 + = 4 + 4 的解为 1 = 4， 2 = 4
……
1 1
(1)根据上面的规律，猜想方程 + = 5 + 5 的解；
1
答案： 1 = 5， 2 = 5
+ 2 1
(2)利用材料提供的方法解关于 的方程： + + 1 = 3 + 3
( + 1) + 1 1
解：原方程变形得： + = 3 + + 1 3
1 1
( + 1) + + 1 = 3 + 3
1
由规律得： + 1 = 3 或 + 1 = 3
2
解得： 1 = 2， 2 = 3
2
检验： 1 = 2， 2 = 3 均使原分式有意义，是原方程的解。
1 2 + 3 + 1
(3)已知 ≠ 0，利用材料提供的方法解关于 的方程： + =4 6 2 (结果保留 )
1 2 + 3 + 1
解：原方程： + =4 6 2
1 1
方程两边同乘 2：2 + 2 3 = + 3 +
1 1
方程两边减 3：(2 3) + 2 3 = +
1
由规律得：2 3 = 或 2 3 =
3 + 3 + 1
解得： 1 = 2 ， 2 = 2
检验：所得解均使原分式有意义，是原方程的解。
6、定义：如果两个分式 ， 的和为常数 ，且 为正整数，则称 与 互为“和整分
式”，常数 称为“和整值”。
1 + 1
如：分式 = ， = ， + = = 1 + 1 + 1 + 1 ，则
M与 N 互为“和整分式”，“和整
值”k = 1 ．
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第 18 章 分式
7 2 + 6 + 9
(1)已知分式 = 2， = 2 ，判断 与 是否互为“和整分式”。若是，求出“和 + 6
整值” ；若不是，请说明理由。
解： 、 互为和整分式，理由如下：
7 ( + 3)2
+ = 2 + ( 2)( + 3)
7 + 3
= 2 + 2
2 4
= 2
= 2
∴ 和整值 = 2
3 4
(2)已知分式 = 2 ， = 2 ， 与 互为“和整分式”，且“和整值” = 3。若 为正 4
整数，且分式 的值也为正整数，求：
① 所代表的代数式；
解：由题意得 + = 3
3 4
+ = 3
2 ( + 2)( 2)
(3 4)( + 2) +
( + 2)( 2) = 3
3 2 + 2 8+ = 3( 2 4)
3 2 + 2 8+ = 3 2 12
= 2 4
答案： = 2 4
② 的值；
解：将 = 2 4 代入得：
2 4 2
=
2
=
4 2
∵ 为正整数， 为正整数
∴ 2 = 1 或 2 = 2
解得： = 1 或 = 0（舍去）
答案： = 1
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第 18 章 分式
3 5 3
(3)已知分式 = ， = = 2 3 3 ， 与 互为“和整分式”，且“和整值” ，若满足以
上关系的关于 的方程无解，求实数 的值。
解：∵ 与 互为“和整分式”，且“和整值” = 2 ，
3 5 3 3 5 + 3
∴ + = 3 + = 2，∴3 3
= 2 ，
∴ (3 ) 2 = 2 6，∴ (1 ) = 4 .
∵ 当 1 = 0，即 = 1时，关于 的方程无解，
4
当 1 ≠ 0时， = 1 ，
4 7
∵ 关于 的方程无解，∴ = 31 ，解得
=
3 .
7
综上， 的值为 1 或3 .
3 1
7、已知关于 的分式方程 2 + 1 = 2
(1)若 = 1 是分式方程的解，求 的值；
3 1
解：将 = 1 代入原方程： + 1 =1 2 2 1
解得： = 3
答案： = 3
(2)当 = 4 时，解分式方程；
4 3 1
解：当 = 4 时，方程为： 2 + 1 = 2
两边同乘 2：4 3 + 2 = 1
4
解得： = 5
4
检验： = 时， 2 ≠ 05 ，方程成立。
4
答案： = 5
(3)①若分式方程的解为正数，求 的取值范围；
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第 18 章 分式
4
解：去分母整理得：( + 1) = 4，解得 = + 1
4
∵ 解为正数，∴ + 1 > 0，即
> 1
4
又 ∵ ≠ 2，∴ ≠ 2，即 ≠ 1 + 1
答案： > 1 且 ≠ 1
②若分式方程的解为整数，求 的值；
4
解： = 为整数，则 + 1 =± 1, ± 2, ± 4 + 1
解得： = 0, 2,1, 3,3, 5
由题意 ≠ 1
答案：所以 的值是 0, 2, 3,3, 5
(4)若分式方程无解，求 的值；
解：方程两边乘( 2)，得 3 + 2 = 1 ，
整理，得( + 1) = 4 .
当 + 1 = 0，即 = 1 时，分式方程无解；
当 + 1 ≠ 0，即 ≠ 1时，因为分式方程无解，所以 = 2 .
把 = 2代入( + 1) = 4，得 = 1 .
综上， 的值为 1 或 1.
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18.7 分式方程及其解法
1 1 1
1、对于实数 , ，定义一种新运算： = 2，例如：1 3 = 1 32
= 8，
2
则方程 ( 2) = 4 1 的解是( )
A. = 4 B. = 5 C. = 6 D. = 7
2 3
2、点 ， 在数轴上对应的数分别为 3 ， + 1，且点 ， 关于原点对称，则 的值( )
7
A. 5 B. 5 C. 7 D. 11
+ 1
3、已知关于 的分式方程 + 1 1 + = 2 的解为负数，则 的取值范围是( )
A. < 3 B. > 3 C. < 3 且 ≠ 2 D. > 3 且 ≠ 4

4、如果关于 的分式方程 + = 2 1 1 无解，那么实数 的值是( )
A. = 1 B. = 1 C. = 1 或 = 1 D. ≠ 1且 ≠ 1
5、先阅读下面的材料，然后回答问题：
1 1 1
方程 + = 2 + 2 的解为 1 = 2， 2 = 2
1 1 1
方程 + = 3 + 3 的解为 1 = 3， 2 = 3
1 1 1
方程 + = 4 + 4 的解为 1 = 4， 2 = 4
……
1 1
(1)根据上面的规律，猜想方程 + = 5 + 5 的解；
+ 2 1
(2)利用材料提供的方法解关于 的方程： + + 1 = 3 + 3
1 2 + 3 + 1
(3)已知 ≠ 0，利用材料提供的方法解关于 的方程： + =4 6 2 (结果保留 )
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6、定义：如果两个分式 ， 的和为常数 ，且 为正整数，则称 与 互为“和整分
式”，常数 称为“和整值”。
1 + 1
如：分式 = ， = + = = 1 M N + 1 + 1 ， + 1 ，则 与 互为“和整分式”，“和整
值”k = 1 ．
7 2 + 6 + 9
(1)已知分式 = 2， = 2 ，判断 与 是否互为“和整分式”。若是，求出“和 + 6
整值” ；若不是，请说明理由。
3 4
(2)已知分式 = 2 ， = 2 ， 与 互为“和整分式”，且“和整值” = 3。若 为正 4
整数，且分式 的值也为正整数，求：
① 所代表的代数式；
② 的值；
3 5 3
(3)已知分式 = = 3 ， 3 ， 与 互为“和整分式”，且“和整值” = 2，若满足以
上关系的关于 的方程无解，求实数 的值。
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第 18 章 分式
3 1
7、已知关于 的分式方程 2 + 1 = 2
(1)若 = 1 是分式方程的解，求 的值；
(2)当 = 4 时，解分式方程；
(3)①若分式方程的解为正数，求 的取值范围；
②若分式方程的解为整数，求 的值；
(4)若分式方程无解，求 的值；
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