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第 13 章 三角形
13.3 三角形的外角
1、如图 1是“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图 2，且 ∥ ，∠ = 30 ，∠ = 110 ，
则 ∠ 的度数是( )
A.60 B.70 C.80 D.90
答案：C
解析
延长 DC，交 AE于点 F。∵ ∠ = 30 ，∠ = 110
∴ ∠ = ∠ ∠ = 110 30 = 80
∵ ∥ ，∴∠ = ∠ = 80
2、如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五个顶角（∠ ，∠ ，∠ ，
∠ ，∠ ）的度数必须相等，设计师需要知道这个顶角的度数以便制图，则这个顶角的度数( )
A.40 B.36 C.35 D.30
答案：B
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第 13 章 三角形
解析
设 ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ，根据三角形外角性质可得：
五角星内部三角形的两个底角均为 2 。
由三角形内角和定理得： + 2 + 2 = 180
解得： = 36 。
3、一个零件的形状如图所示，按规定 ∠ = 90 ，∠ = 21 ，∠ = 32 。检验工人量得 ∠ =
148 ，就断定这个零件不合格，这是为什么？
答案：∠ = 143 ≠ 148 ，该零件不合格，标准角度，证明见解析
解析
延长 CD 交 AB 于点 E。
根据三角形外角性质：∠ = ∠ + ∠ ，∠ = 90 + 32 = 122 ，
又∠ = ∠ + ∠ ，∠ = 122 + 21 = 143
∵实测 ∠ = 148 ，143 ≠ 148
∴该零件不合格。
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第 13 章 三角形
4、在 △ 中，∠ = 90 ，∠ = 55 ，将其沿 折叠，使点 的对应点 ′ 落在边
上，则 ∠ ′ = _____ 。
答案：20
解析
在 △ 中：∠ = 90 ∠ = 90 55 = 35
由折叠的性质得：∠ ′ = ∠ = 55
根据三角形外角性质：∠ ′ = ∠ ′ ∠ = 55 35 = 20
5、在三角形纸片 中，∠ = 75 ，∠ = 65 ，将纸片的一角沿 折叠，使点 落在
△ 内部的点 ′ 处，若 ∠1 = 45 ，则 ∠2 = ____ 。
答案：35
解析
在 △ 中：∠ = 180 ∠ ∠ = 180 75 65 = 40
在 △ 中：∠ + ∠ = 180 ∠ = 140
由折叠性质得：∠ ′ = ∠ ，∠ ′ = ∠
∠ ′ + ∠ ′ = 2(∠ + ∠ ) = 2 × 140 = 280
∵ ∠1 + ∠ ′ = 180 ，∠2 + ∠ ′ = 180
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第 13 章 三角形
∴∠1 + ∠2 + ∠ ′ + ∠ ′ = 360
45 + ∠2 + 280 = 360
代入数据得： ∠2 = 360 280 45
∠2 = 35
6、在 △ 中，∠ = 54 ，∠ = 46 ， 是线段 上的一个动点，连接 ，把 △
沿 折叠，点 落在同一平面内的点 ′ 处。当 ′ 平行于 △ 的边时，∠ 的
大小为________ 或________
答案：67；117
解析
在 △ 中：∠ = 180 ∠ ∠ = 180 54 46 = 80
情况一：当 ′ ∥ 时，由平行线性质得：∠ ′ = ∠ ，
由折叠性质得：∠ ′ = ∠ ，∠ ′ = ∠ = 46
180 ∠ 180 46
∴∠ = ∠ ，△ 为等腰三角形，∠ = = = 67 2 2
情况二：当 ′ ∥ 时
由平行线性质得：∠ ′ = ∠ = 54 ，∠ ′ = 180 ∠ ′ = 180 54 = 126
1 1
由折叠性质得：∠ = ∠ ′ ，∠ = × (360 ∠ ′) = × (360 126 ) = 117 2 2
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第 13 章 三角形
综上，∠ 的度数为 67 或 117 。
7、已知一张三角形纸片 （如图甲），其中 ∠ = ∠ 。将纸片沿过点 的直线折叠，
使点 落到 边上的点 处，折痕为 （如图乙），再将纸片沿过点 的直线折叠，
使点 恰好与点 重合，折痕为 （如图丙）。在原三角形纸片 中，∠ 的度数为
________
答案：36
解析
设 ∠ = ，由折叠的性质得：∠ = ∠ = 。
由三角形外角性质得：
∠ = ∠ + ∠ = 2
再次由折叠性质得：∠ = ∠ = 2
∴∠ = ∠ = 2
由三角形内角和定理得：
∠ + ∠ + ∠ = 180
+ 2 + 2 = 180
5 = 180
= 36
∴∠ = 36
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13.3 三角形的外角
1、如图 1是“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图 2，且 ∥ ，∠ = 30 ，∠ = 110 ，
则 ∠ 的度数是( )
A.60 B.70 C.80 D.90
1题图 2题图
2、如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五个顶角（∠ ，∠ ，∠ ，
∠ ，∠ ）的度数必须相等，设计师需要知道这个顶角的度数以便制图，则这个顶角的度数( )
A.40 B.36 C.35 D.30
3、一个零件的形状如图所示，按规定 ∠ = 90 ，∠ = 21 ，∠ = 32 。检验工人量得 ∠ =
148 ，就断定这个零件不合格，这是为什么？
4、在 △ 中，∠ = 90 ，∠ = 55 ，将其沿 折叠，
使点 的对应点 ′ 落在边 上，则 ∠ ′ = _____ 。
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第 13 章 三角形
5、在三角形纸片 中，∠ = 75 ，∠ = 65 ，将纸片的一角沿 折叠，使点 落在
△ 内部的点 ′ 处，若 ∠1 = 45 ，则 ∠2 = ____ 。
6、在 △ 中，∠ = 54 ，∠ = 46 ， 是线段 上的一个动点，连接 ，把 △
沿 折叠，点 落在同一平面内的点 ′ 处。当 ′ 平行于 △ 的边时，∠ 的
大小为________ 或________
7、已知一张三角形纸片 （如图甲），其中 ∠ = ∠ 。将纸片沿过点 的直线折叠，
使点 落到 边上的点 处，折痕为 （如图乙），再将纸片沿过点 的直线折叠，
使点 恰好与点 重合，折痕为 （如图丙）。在原三角形纸片 中，∠ 的度数为
________
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