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第 13 章 三角形
13.2 三角形的内角
1、一副三角尺按如图所示的方式放置，点 在边 上，点 在边 上， ⊥ ，
则 ∠ 的度数为( )
A.45 B.60 C.75 D.80
1题图 2题图
2、某品牌自行车的示意图如图所示，其中 ∥ ，∠ = 70 ， 平分 ∠ ，∠ =
60 ，则 ∠ 的度数是_________
3、当三角形中一个内角 的度数是另一个内角 的度数的二分之一时，我们称此三角形为
“友好三角形”，这个内角 为 “友好角”。如果一个 “友好三角形” 中有一个内角为 54 ，那
么这个 “友好三角形” 的 “友好角” 的度数为________ 、________ 或 ________ 。
4、如图，在 △ 中，点 是 △ 内部 ∠ 平分线上的一点，连接 ，点 是
∠ ，∠ 平分线的交点。若 ∠ = 100 ，则 ∠ 的度数为________
5、如图 1，光线射向一个平面镜后被反射，两条光线与平面镜的夹角相等（即 ∠1 = ∠2）。
如图 2，光线射到平面镜甲上后，又被反射到平面镜乙上，然后光线又被反射到平面镜甲上……
若 ∠ = 55 ，∠ = 75 ，则 ∠ = ________
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第 13 章 三角形
6、问题情景：如图 1，有一块含 30 角的直角三角尺 放置在 △ 上（点 在
△ 内），使三角尺 的两条直角边 ， 恰好分别经过点 和点 。试问 ∠
与 ∠ 之间是否存在某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠ = 50 ，则∠ + ∠ = ________
∵ ∠ + ∠ = ________ ，∴ ∠ + ∠ = ________
（2) 类比探究：请探究 ∠ + ∠ 与 ∠ 之间的数量关系。
（3） 类比延伸：如图 2，改变直角三角尺 的位置，使点 在 △ 外，直角三角
尺 的两条直角边 ， 分别经过点 和点 ，则 (2) 中的结论是否仍然成立？
若不成立，请直接写出你的结论。
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13.2 三角形的内角
1、一副三角尺按如图所示的方式放置，点 在边 上，点 在边 上， ⊥ ，
则 ∠ 的度数为( )
A.45 B.60 C.75 D.80
答案：C
解析
设 与 交于点
由题意得 ∠ = ∠ = 90 ，∠ = 45 ，∠ = 60
∵ ⊥ ,∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90
∴ ∠ = 90 60 = 30
在 △ 中：∠ = 180 ∠ ∠ = 180 90 30 = 60
∵ ∠ = ∠ = 60 （对顶角相等）
在 △ 中：∠ = 180 ∠ ∠ = 180 90 60 = 30
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 30 + 45 = 75
2、某品牌自行车的示意图如图所示，其中 ∥ ，∠ = 70 ， 平分 ∠ ，∠ =
60 ，则 ∠ 的度数是_________
答案：95
解析
∵ ∥
∴ ∠ + ∠ = 180
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第 13 章 三角形
∵ ∠ = 70
∴ ∠ = 180 ∠ = 180 70 = 110
∵ ∠ = 60
∴ ∠ = ∠ ∠ = 110 60 = 50
∵ 平分 ∠
1 1
∴ ∠ = ∠ = × 70 = 35
2 2
在 △ 中：∠ = 180 ∠ ∠ = 180 50 35 = 95
3、当三角形中一个内角 的度数是另一个内角 的度数的二分之一时，我们称此三角形为
“友好三角形”，这个内角 为 “友好角”。如果一个 “友好三角形” 中有一个内角为 54 ，那
么这个 “友好三角形” 的 “友好角” 的度数为________ 、________ 或 ________ 。
答案：54，108，84
解析
分三种情况讨论：
① 若 54 角是友好角 ，则友好角 = 54 ；
② 若 54
1
角是 ，则 = = 54 2 ，解得
= 108 ；
③ 若 54 既不是 也不是 ，根据三角形内角和：
+ + 54 = 180
1
+ + 54 = 180
2
3
= 126
2
= 84
综上，友好角度数为 54 、108 或 84 。
4、如图，在 △ 中，点 是 △ 内部 ∠ 平分线上的一点，连接 ，点 是
∠ ，∠ 平分线的交点。若 ∠ = 100 ，则 ∠ 的度数为________
答案：40
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解析
在 △ 中：
∠ + ∠ = 180 ∠ = 180 100 = 80
∵ 平分 ∠ ， 平分 ∠
∴ ∠ = 2∠ , ∠ = 2∠
∠ + ∠ = 2(∠ + ∠ ) = 2 × 80 = 160
在 △ 中：
∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 180 160 = 20
∵ 平分 ∠
∴ ∠ = 2∠ = 2 × 20 = 40
5、如图 1，光线射向一个平面镜后被反射，两条光线与平面镜的夹角相等（即 ∠1 = ∠2）。
如图 2，光线射到平面镜甲上后，又被反射到平面镜乙上，然后光线又被反射到平面镜甲上……
若 ∠ = 55 ，∠ = 75 ，则 ∠ = ________
答案：65
解析
由反射性质得：∠5 = ∠ = 55 ，∠3 = ∠ = 75 ，∠6 = ∠
在中间三角形中：∠4 = 180 ∠5 ∠3 = 180 55 75 = 50
又 ∠6 + ∠4 + ∠ = 180 ，代入 ∠6 = ∠ ：
2∠ + 50 = 180
2∠ = 130
∠ = 65
6、问题情景：如图 1，有一块含 30 角的直角三角尺 放置在 △ 上（点 在
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第 13 章 三角形
△ 内），使三角尺 的两条直角边 ， 恰好分别经过点 和点 。试问 ∠
与 ∠ 之间是否存在某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠ = 50 ，则∠ + ∠ = ________
∵ ∠ + ∠ = ________ ，∴ ∠ + ∠ = ________
答案：130，90，40
解析：在 △ 中：∠ + ∠ = 180 ∠ = 180 50 = 130
∵ ∠ = 90 ，在 △ 中：∠ + ∠ = 180 ∠ = 180 90 = 90
∠ + ∠ = (∠ ∠ ) + (∠ ∠ )
= (∠ + ∠ ) (∠ + ∠ )
= 130 90
= 40
（2) 类比探究：请探究 ∠ + ∠ 与 ∠ 之间的数量关系。
答案：∠ + ∠ = 90 ∠
解析
∠ + ∠ = 180 ∠
∠ + ∠ = 180 ∠ = 90
∠ + ∠ = (∠ + ∠ ) (∠ + ∠ )
= (180 ∠ ) 90
= 90 ∠
即数量关系：∠ + ∠ = 90 ∠
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第 13 章 三角形
（3） 类比延伸：如图 2，改变直角三角尺 的位置，使点 在 △ 外，直角三角
尺 的两条直角边 ， 分别经过点 和点 ，则 (2) 中的结论是否仍然成立？
若不成立，请直接写出你的结论。
答案：不成立；结论：∠ ∠ = 90 ∠
解析
在 △ 中：∠ + ∠ = 180 ∠
∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90
(∠ + ∠ ) (∠ + ∠ ) = 180 ∠ 90 = 90 ∠
由图可知：∠ = ∠ ∠ ，∠ = ∠ ∠
代入化简：(∠ ∠ + ∠ ∠ ) (∠ + ∠ ) = 90 ∠
∠ ∠ 2∠ = 90 ∠ (化简后最终得)
∠ ∠ = 90 ∠
故 (2) 结论不成立，新结论：∠ ∠ = 90 ∠
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