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第 14 章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定(SAS)
1、如图所示的网格是由边长均为 1的小正方形组成的，图形的各个顶点均在小
正方形的顶点上，则 ∠1 + ∠2 的度数是( )
A.30 B.45 C.50 D.60
1题图 2题图
2、如图，在 △ 中，∠ = ∠ ，M，N，P 分别是边 ， ， 上的点，且
= ， = ，∠ = 92 ，则 ∠ 的度数为( )
A.44 B.92 C.88 D.136
3、在平面直角坐标系 中，已知点 A 的坐标为 (5, 4)，点 B 的坐标为 (0,
4)，在坐标轴上找一点 C，使 △ 与 △ 全等，那么点 C 的坐标为
___________
4、如图，点 A 在点 O 的正北方向，点 B 在点 O 的正东方向，且点 A，B 到
点 O 的距离相等，甲从点 A 出发，以每小时 50千米的速度朝正东方向行驶，
同时，乙从点 B 出发，以每小时 30千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，甲、
乙分别位于点 C，D 处，且位于点 O 处的观察员发现 ∠ = 45 ，此时甲、乙
两人相距__________千米。
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第 14 章 全等三角形
5、△ 中， = ，D 是直线 上的一点，以 为一条边在 的右
侧作 △ ，使 = ，∠ = ∠ ，连接 ， 。
(1)如图，当点 D 在线段 的延长线上时，求证： = 。
(2)设 ∠ = ，∠ = 。
①当点 D 在线段 的延长线上时， 与 之间有什么数量关系？请说明理由。
②当点 D 分别在线段 上、线段 的反向延长线上时， 与 之间有什
么数量关系？请说明理由。
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第 14 章 全等三角形
一题练透 手拉手全等模型
6、【模型呈现】(1)如图 1，若 A，O，D 三点共线，猜想 与 的数量关系，
并证明。
【模型应用】(2)如图 2，设 ， 相交于点 P， ， 相交于点 Q。若 ∠ =
40 ，求 ∠ 的度数。
【拓展延伸】(3)如图 3，∠ = ∠ = 90 ，若 M，N 分别为 ， 的中点，
连接 ， ， ，判断 与 的数量关系与位置关系，并证明。
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14.2 三角形全等的判定(SAS)
1、如图所示的网格是由边长均为 1的小正方形组成的，图形的各个顶点均在小
正方形的顶点上，则 ∠1 + ∠2 的度数是( )
A.30 B.45 C.50 D.60
答案：B
解析：
=
连接 ， ， ，在 △ 和 △ 中， ∠ = ∠ ，∴△ △ (SAS)，
=
∴ ∠1 = ∠ ，∴ ∠1 + ∠2 = ∠ + ∠2 = ∠ = 45
2、如图，在 △ 中，∠ = ∠ ，M，N，P 分别是边 ， ， 上的点，且
= ， = ，∠ = 92 ，则 ∠ 的度数为( )
A.44 B.92 C.88 D.136
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第 14 章 全等三角形
答案：A
解析：
=
在 △ 和 △ 中， ∠ = ∠
=
∴△ △ (SAS)
∴ ∠ = ∠
∵ ∠ = 92 ，∠ = ∠
1
∴ ∠ = ∠ = × (180 92 ) = 44
2
∴ ∠ + ∠ = 180 ∠ = 136
∴ ∠ + ∠ = 136
∴ ∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 44
3、在平面直角坐标系 中，已知点 A 的坐标为 (5, 4)，点 B 的坐标为 (0,
4)，在坐标轴上找一点 C，使 △ 与 △ 全等，那么点 C 的坐标为
___________
答案：(5,0)或 ( 5,0)
解析：
∵ (5, 4)， (0, 4)
∴ ∥ 轴， = 4， = 5， ⊥ 轴，即 ∠ = 90
要使 △ △ ，点 C 在 轴上，分两种情况：
① 点 C 在 轴负半轴， = = 5，此时 ( 5,0)；
② 点 C 在 轴正半轴， = = 5，此时 (5,0)。
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第 14 章 全等三角形
综上，点 C 的坐标为 (5,0) 或 ( 5,0)。
避坑指南
要注意区分“全等”和“ ”，当用“全等”描述两个三角形全等时，对应关系不明确，
需要分类讨论；当用“ ”表示两个三角形全等时，对应关系已明确，不需要分类
讨论。
4、如图，点 A 在点 O 的正北方向，点 B 在点 O 的正东方向，且点 A，B 到
点 O 的距离相等，甲从点 A 出发，以每小时 50千米的速度朝正东方向行驶，
同时，乙从点 B 出发，以每小时 30千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，甲、
乙分别位于点 C，D 处，且位于点 O 处的观察员发现 ∠ = 45 ，此时甲、乙
两人相距__________千米。
答案：80
解析：
由题意得： = ，∠ = ∠ = 90 ， = 50km， = 30km，∠ = 45 ，∠ =
90 。延长 至点 E，使 = ，连接 ，则 ∠ = 90 。
=
在 △ 和 △ 中， ∠ = ∠
=
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第 14 章 全等三角形
∴△ △ (SAS)
∴ ∠ = ∠ ， =
∵ ∠ = 45
∴ ∠ + ∠ = 90 45 = 45
∴ ∠ + ∠ = 45 ，即 ∠ = 45
∴ ∠ = ∠
=
在 △ 和 △ 中， ∠ = ∠
=
∴△ △ (SAS)
∴ = = + = + = 50 + 30 = 80千米
5、△ 中， = ，D 是直线 上的一点，以 为一条边在 的右
侧作 △ ，使 = ，∠ = ∠ ，连接 ， 。
(1)如图，当点 D 在线段 的延长线上时，求证： = 。
(2)设 ∠ = ，∠ = 。
①当点 D 在线段 的延长线上时， 与 之间有什么数量关系？请说明理由。
②当点 D 分别在线段 上、线段 的反向延长线上时， 与 之间有什
么数量关系？请说明理由。
答案：
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第 14 章 全等三角形
(1) 证明：∵ ∠ = ∠ ,∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠
即 ∠ = ∠
=
在 △ 和 △ 中， ∠ = ∠
=
∴△ △ (SAS)
∴ =
(2)① = ，理由如下：
由(1)得 △ △
∴ ∠ = ∠
∵ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠
∴ ∠ = ∠ ，即 =
② 图 1 图 2
当点 D 在线段 上时， + = 180 ，理由如下：
如图 1，∵ ∠ = ∠
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠
即 ∠ = ∠
=
在 △ 和 △ 中， ∠ = ∠
=
∴△ △ (SAS)
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠
∵ ∠ + ∠ = 180
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第 14 章 全等三角形
∴ ∠ + ∠ = 180
∴ ∠ + ∠ = 180
∴ ∠ + ∠ = 180 ，即 + = 180
当点 D 在线段 的反向延长线上时， = ，理由如下：
如图 2，同理可证 △ △ ，∴ ∠ = ∠
∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ + ∠ ， ∴ ∠ = ∠ ，即 =
一题练透 手拉手全等模型
模型总结：条件： = ， = ，∠ = ∠ ，O 为直线 、 的交点。
图示
结论：①△ △ ；②对应夹角相等。
解题思路：等角加(减)共顶点的角的公共部分，得到一组对应角相等。
在 △ 和 △ 中， = ， = ，∠ = ∠ ，连接 ， 。
6、【模型呈现】
(1)如图 1，若 A，O，D 三点共线，猜想 与 的数量关系，并证明。
答案： = ，证明如下：∵ ∠ = ∠
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，即 ∠ = ∠
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第 14 章 全等三角形
=
在 △ 和 △ 中， ∠ = ∠
=
∴△ △ (SAS)
∴ =
【模型应用】
(2)如图 2，设 ， 相交于点 P， ， 相交于点 Q。若 ∠ = 40 ，求 ∠
的度数。
答案：由(1)同理可得 △ △
∴ ∠ = ∠
在 △ 和△ 中，
∠ = ∠ ，∠ = ∠
∴ ∠ = ∠
∵ ∠ = 40
∴ ∠ = 40
∴ ∠ = 180 ∠ = 140
【拓展延伸】
(3)如图 3，∠ = ∠ = 90 ，若 M，N 分别为 ， 的中点，连接 ， ，
，判断 与 的数量关系与位置关系，并证明。
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第 14 章 全等三角形
答案： = ， ⊥ ，证明如下：
由(1)同理可得 △ △
∴ ∠ = ∠ ， =
∵ ， 分别为 ， 的中点
1 1
∴ = ， = 2 2
∴ =
在 △ 和△ 中，
=
∠ = ∠
=
∴△ △ (SAS)
∴ = ，∠ = ∠
∵ ∠ = 90
∴ ∠ + ∠ = 90
∴ ∠ + ∠ = 90 ，即 ∠ = 90
∴ ⊥
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