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第 14 章 全等三角形
14.3 三角形全等的判定(ASA 和 AAS)
1、如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或
两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，最省事的做法是带碎片( )
A.① B.② C.③ D.①③
1题图 2题图
2、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入
相补法。如图所示，在 △ 中，分别取 ， 的中点 D，E，连接 ，过
点 A 作 ⊥ ，垂足为点 F，将 △ 分割后拼接成长方形 。若 = 5，
= 4，则 △ 的面积是_______。
3、如图，在 △ 中，D 是 边上的点，连接 ， 平分 ∠ ，交
于点 E， ∥ ，交 于点 F，∠ = ∠ 。
(1)求证： =
(2)若 ∠ = 110 ，求 ∠ 的度数。
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第 14 章 全等三角形
4、如图，在四边形 中，∠ = 90 ， ∥ ，连接 ，点 G 在 边
上，连接 并延长，交 的延长线于点 E，交 于点 F，连接 ，已知 =
，∠ + ∠ = 90 。
(1)求证：△ △
(2)若 = 2 ，求证： =
5、如图，在 4 × 4 的正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫作格点，线段
的端点都在格点上，请按要求用无刻度的直尺作图。
(1)在图 1中作格点线段 ⊥ ，垂足为点 E；
(2)在图 2中的线段 上作点 H，使得 = 。
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第 14 章 全等三角形
一题练透 一线三等角模型
6、【模型发现】(1)如图 1，∠ = ∠ = ∠ = 90 ， = 。猜想 ， ，
之间的关系，并说明理由。
(2)如图 2，将(1)中的条件改为 ∠ = ∠ = ∠ = (90 < < 180 )， = ，
请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
【类比应用】(3)如图 3，在 △ 中，∠ = 90 ， = ，过点 C 在 ∠ 的
内部作一条射线 ，分别过点 A，B 作 的垂线，垂足为 E，F。若 = 3 ，
= 8，求 △ 的面积。
(4)【拓展应用】如图 4，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标是 (5,5)，点 N 在
轴的正半轴上运动，点 M 在 轴上运动，且 ⊥ ，若 = 3，求出点 N
的坐标。
16/70第 14 章 全等三角形
14.3 三角形全等的判定(ASA 和 AAS)
1、如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或
两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，最省事的做法是带碎片( )
A.① B.② C.③ D.①③
答案：C
解析：由题图可知，碎片③有完整的两角与夹边，根据 ASA判定定理可以得到
与原三角形模具全等的三角形，所以最省事的做法是带碎片③去。
2、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入
相补法。如图所示，在 △ 中，分别取 ， 的中点 D，E，连接 ，过
点 A 作 ⊥ ，垂足为点 F，将 △ 分割后拼接成长方形 。若 = 5，
= 4，则 △ 的面积是_______。
答案：40
解析：可通过证明 △ △ (AAS)，△ △ (AAS)，得出拼接前后图形
面积不变。
由三角形中位线性质得：长方形长 = 2 = 10，长方形宽 = = 4。
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第 14 章 全等三角形
△ = 长方形 = = 10 × 4 = 40。
3、如图，在 △ 中，D 是 边上的点，连接 ， 平分 ∠ ，交
于点 E， ∥ ，交 于点 F，∠ = ∠ 。
(1)求证： =
(2)若 ∠ = 110 ，求 ∠ 的度数。
答案：
(1) 证明：∵ 平分 ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ ，∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠ ，∴△ △ (AAS)，∴ =
=
(2) 解：由(1)得 △ △ ，∴ ∠ = ∠ = 110 ，
∴ ∠ = 360 ∠ ∠ = 360 110 110 = 140 ，
∵ ∥ ，∴ ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ = 180 140 = 40 ，
4、如图，在四边形 中，∠ = 90 ， ∥ ，连接 ，点 G 在 边
上，连接 并延长，交 的延长线于点 E，交 于点 F，连接 ，已知 =
，∠ + ∠ = 90 。
(1)求证：△ △
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第 14 章 全等三角形
(2)若 = 2 ，求证： =
答案：
(1) 证明：
∵ ∥
∴ ∠ = ∠
∵ ∠ + ∠ = 90
∴ ∠ + ∠ = 90
∴ ∠ = 90 ，即 ∠ = 90
∴ ∠ = 90
∵ ∠ = 90
∴ ∠ = ∠
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠
=
∴△ △ (AAS)
(2) 证明：
由(1)得 △ △
∴ =
∵ = 2
∴ = 2
∴ =
∵ ∥
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第 14 章 全等三角形
∴ ∠ = ∠
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： =
∠ = ∠
∴△ △ (ASA)
∴ =
5、如图，在 4 × 4 的正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫作格点，线段
的端点都在格点上，请按要求用无刻度的直尺作图。
(1)在图 1中作格点线段 ⊥ ，垂足为点 E；
(2)在图 2中的线段 上作点 H，使得 = 。
答案：
(1) 作图：
线段 、垂足 E 即为所求（答案不唯一）。
原理证明：
=
连接 ， ， ，在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠
=
∴△ △ (SAS)
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第 14 章 全等三角形
∴ ∠ = ∠
∵ ∠ + ∠ = 90
∴ ∠ + ∠ = 90
∴ ∠ = 180 90 = 90
∴ ⊥
(2) 作图：
点 H 即为所求。
原理证明：
连接 ， ， ， 与 交于点 H。
∵ ∥
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： =
∠ = ∠
∴△ △ (ASA)
∴ =
一题练透 一线三等角模型
模型总结
模型识别：三个相等的角的顶点在同一条直线上，其中两个角的一边与该直线重
合，称为一线三等角。
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第 14 章 全等三角形
同侧图示
异侧图示
推导步骤：1.找等角：∠1 = ∠2 = ∠3；2.导角计算：根据平角及外角定理进行等角
代换，得出另一组相等的角；3.证全等：利用 ASA或 AAS判定三角形全等。
6、【模型发现】
(1)如图 1，∠ = ∠ = ∠ = 90 ， = 。猜想 ， ， 之间的关系，
并说明理由。
(2)如图 2，将(1)中的条件改为 ∠ = ∠ = ∠ = (90 < < 180 )， = ，
请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
答案：
(1) 结论： = + ，理由如下：
∵ ∠ = ∠ = 90
∴ ∠ + ∠ = 90 ，∠ + ∠ = 90
∴ ∠ = ∠
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第 14 章 全等三角形
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠
=
∴△ △ (AAS)
∴ = ， =
∴ = + = +
(2) 结论：仍然成立，证明如下：
∵ ∠ = ∠ =
∴ ∠ + ∠ = 180 ，∠ + ∠ = 180
∴ ∠ = ∠
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠
=
∴△ △ (AAS)
∴ = ， =
∴ = + = +
【类比应用】
(3)如图 3，在 △ 中，∠ = 90 ， = ，过点 C 在 ∠ 的内部作一条
射线 ，分别过点 A，B 作 的垂线，垂足为 E，F。若 = 3 ， = 8，
求 △ 的面积。
答案：解：∵ ∠ = 90
∴ ∠ + ∠ = 90
∵ ⊥ ， ⊥
∴ ∠ = ∠ = 90
∴ ∠ + ∠ = 90
∴ ∠ = ∠
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第 14 章 全等三角形
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠
=
∴△ △ (AAS)
∴ = ， =
∵ =
∴ =
∵ = 3 ， = 8
∴ 3 = 8
解得： = 4
∴ = 4， = 12
1 1
∴ △ = × × = × 4 × 12 = 242 2
(4)【拓展应用】如图 4，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标是 (5,5)，点 N 在
轴的正半轴上运动，点 M 在 轴上运动，且 ⊥ ，若 = 3，求出点 N
的坐标。
答案：点 N 的坐标为 (7,0) 或 (13,0)
解答：
①
当点 M 在 轴正半轴上时：
过点 P 作 ⊥ 轴于点 F，过点 N 作 ⊥ ，交 的延长线于点 E。
∵ (5,5)，∴ = = = 5
∵ ⊥
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第 14 章 全等三角形
∴ ∠ = 90
∴ ∠ + ∠ = 90
∵ ∠ = 90
∴ ∠ + ∠ = 90
∴ ∠ = ∠
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠
=
∴△ △ (AAS)
∴ =
∵ = 3
∴ = = 5 3 = 2
∴ = 2
∴ = = + = 5 + 2 = 7
此时点 N 坐标为 (7,0)。
②
当点 M 在 轴负半轴上时：
过点 P 作 ⊥ 轴于点 T，过点 N 作 ⊥ ，交 的延长线于点 S。
∵ (5,5)，∴ = = = 5
同理可证 △ △ (AAS)，∴ =
= + = 5 + 3 = 8
∴ = 8
∴ = = + = 5 + 8 = 13
此时点 N 坐标为 (13,0)。
综上所述，点 N 的坐标为 (7,0) 或 (13,0)。
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