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第 14 章 全等三角形
14.5 直角三角形全等的判定(HL)
1、如图， ⊥ ，且 = ， ⊥ 于点 E， ⊥ 于点 F。若 = 8，
= 4， = 3，则 的长为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案：A
解答：设 与 交于点 。
∵ ⊥ ， ⊥ ， ⊥
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90
∴ ∠ + ∠ = 90 ，∠ + ∠ = 90
∴ ∠ = ∠
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠
=
∴△ △ (AAS)
∴ = = 8， = = 4
∴ = = 4 3 = 1
∴ = + = 8 + 1 = 9
2、如图， = 12cm， ⊥ 于点 A， ⊥ 于点 B，且 = 4cm，线段
足够长，P，Q 分别为线段 ， 上的动点，点 P 从点 B 出发以 1cm/s 的
速度向点 A 运动，与此同时，点 Q 从点 B 出发以 2cm/s 的速度向点 D 运动，
则点 P，Q 运动_______s时，△ 与 △ 全等。
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第 14 章 全等三角形
答案：4
解析：设运动时间为 秒，则 = cm， = 2 cm， = (12 )cm。
∵ ⊥ ， ⊥
∴ ∠ = ∠ = 90
当 △ △ 时， = ， =
∵ = 4cm
∴ = 4
此时 = 12 4 = 8cm， = 2 × 4 = 8cm，满足 = ，符合题意。
3、如图， ⊥ ，交 的延长线于点 E， ⊥ 于点 F，连接 ， ， ，
= ，∠ = ∠ 。
(1)求证：Rt △ Rt △
(2)若 = 6， = 2，求 的长。
答案：
(1) 证明：
∵ ⊥ ， ⊥
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第 14 章 全等三角形
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠
=
∴△ △ (AAS)
∴ =
在 Rt △ 和 Rt △ 中： = =
∴ Rt △ Rt △ (HL)
(2) 解：由(1)得 △ △
∴ = = 2
∴ = + = 6 + 2 = 8
由(1)得 Rt △ Rt △
∴ = = 8
∴ = + = 8 + 2 = 10
4、【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后，聪聪继续对“两个三角形满足
两边分别相等和其中一组等边的对角相等”的情形进行研究。聪聪将命题用符号
语言表示为：在 △ 和 △ 中， = ， = ，∠ = ∠ 。
【分类讨论】聪聪想：要想解决问题，应该对 ∠ 进行分类研究。将 ∠ 分为直
角、钝角、锐角三种情况进行探究。
【解决问题】
(1)如图 1，当 ∠ 是直角时，在 △ 和 △ 中， = ， = ，∠ = ∠ =
90 ，则 Rt △ Rt △ （依据：_______）。
(2)如图 2，当 ∠ 是锐角时， = ，∠ = ∠ < 90 ，在射线 上有一点 D，
使 = ，作出符合条件的点 D，则 △ 和 △ 的关系是( )
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第 14 章 全等三角形
A.全等 B.不全等 C.不一定全等
(3)如图 3，当 ∠ 是钝角时，在 △ 和 △ 中， = ， = ，∠ = ∠ >
90 ，试说明 △ △ 。
图 1 图 2
图 3
答案：
(1) HL
(2) C
解析：
以 F 为圆心， 长为半径作弧，交射线 于点 、 ′，满足 = ′ = 。
其中 △ △ ，△ ′ 与 △ 不全等，故两个三角形不一定全等。
(3) 证明：过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ，过点 作 ⊥ ，
交 的延长线于点 。
∵ ⊥ ， ⊥
∴ ∠ = ∠ = 90
∵ ∠ = ∠
∴ 180 ∠ = 180 ∠
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第 14 章 全等三角形
∴ ∠ = ∠
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠
=
∴△ △ (AAS)
∴ =
在 Rt △ 和 Rt △ 中： = =
∴ Rt △ Rt △ (HL)
∴ ∠ = ∠
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠
=
∴△ △ (AAS)
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14.5 直角三角形全等的判定(HL)
1、如图， ⊥ ，且 = ， ⊥ 于点 E， ⊥ 于点 F。若 = 8，
= 4， = 3，则 的长为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
1题图 2题图
2、如图， = 12cm， ⊥ 于点 A， ⊥ 于点 B，且 = 4cm，线段
足够长，P，Q 分别为线段 ， 上的动点，点 P 从点 B 出发以 1cm/s 的
速度向点 A 运动，与此同时，点 Q 从点 B 出发以 2cm/s 的速度向点 D 运动，
则点 P，Q 运动_______s时，△ 与 △ 全等。
3、如图， ⊥ ，交 的延长线于点 E， ⊥ 于点 F，连接 ， ， ，
= ，∠ = ∠ 。
(1)求证：Rt △ Rt △
(2)若 = 6， = 2，求 的长。
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第 14 章 全等三角形
4、【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后，聪聪继续对“两个三角形满足
两边分别相等和其中一组等边的对角相等”的情形进行研究。聪聪将命题用符号
语言表示为：在 △ 和 △ 中， = ， = ，∠ = ∠ 。
【分类讨论】聪聪想：要想解决问题，应该对 ∠ 进行分类研究。将 ∠ 分为直
角、钝角、锐角三种情况进行探究。
【解决问题】
(1)如图 1，当 ∠ 是直角时，在 △ 和 △ 中， = ， = ，∠ = ∠ =
90 ，则 Rt △ Rt △ （依据：_______）。
(2)如图 2，当 ∠ 是锐角时， = ，∠ = ∠ < 90 ，在射线 上有一点 D，
使 = ，作出符合条件的点 D，则 △ 和 △ 的关系是( )
A.全等 B.不全等 C.不一定全等
(3)如图 3，当 ∠ 是钝角时，在 △ 和 △ 中， = ， = ，∠ = ∠ >
90 ，试说明 △ △ 。
图 1 图 2 图 3
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