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第 14 章 全等三角形
14.6 角的平分线的性质
1、如图，已知 △ 的周长是 35， ， 分别平分 ∠ ，∠ ， ⊥ 于
点 D，且 = 3，则 △ 的面积是( )
A. 105105 B. C.55 D.502
1题图 2题图
2、如图， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 E，△ 的面积为 90， = 18， = 12，
则 的长为( )
A.15 B.3 C.6 D.9
3、如图，在△ 中，∠ 和∠ 的外角的平分线 ， 交于点 ， ⊥ ，
交 的延长线于点 E。若 △ 的面积为 10，△ 的面积为 7， = 4，
则 △ 的周长为( )
A.8 B.10 C.11 D.12
4、如图， 是 ∠ 的平分线， = ，点 P 在线段 上， ⊥ ， ⊥ ，
垂足分别是 M，N。求证： = 。
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第 14 章 全等三角形
5、已知 ∠ ， 平分 ∠ ，定点 C 在射线 上，∠ 与射线 交
于点 B，与直线 交于点 D，且 ∠ + ∠ = 180 。
(1)如图 1，当点 D 在射线 上，且 ⊥ 时，判断 与 之间的数
量关系，并说明理由。
(2)如图 2，当点 D 在射线 上，且 与 不垂直时，(1)中的结论是否
仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
(3)如图 3，当点 D 在射线 的反向延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由。
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14.6 角的平分线的性质
1、如图，已知 △ 的周长是 35， ， 分别平分 ∠ ，∠ ， ⊥ 于
点 D，且 = 3，则 △ 的面积是( )
A. B.105105 552 C. D.50
答案：B
解析：
连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 。
∵ ， 分别平分 ∠ ，∠ ， ⊥ ， ⊥ ， ⊥
∴ = = = 3
∵△ 的周长是 35
∴ + + = 35
△ = △ + △ + △
1 1 1
= + +
2 2 2
1
= ( + + )
2
1
= × 35 × 3
2
105
=
2
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第 14 章 全等三角形
2、如图， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 E，△ 的面积为 90， = 18， = 12，
则 的长为( )
A.15 B.3 C.6 D.9
答案：C
解析：
过点 作 ⊥ 于点 。
∵ 平分 ∠ ， ⊥ ， ⊥
∴ =
∵ △ = △ + △
1 1
∴ △ = + 2 2
将 = 、 = 18、 = 12 代入得：
1 1
△ = × 18 + × 12 = 15 2 2
∵ △ = 90
∴ 15 = 90
解得： = 6
3、如图，在△ 中，∠ 和∠ 的外角的平分线 ， 交于点 ， ⊥ ，
交 的延长线于点 E。若 △ 的面积为 10，△ 的面积为 7， = 4，
则 △ 的周长为( )
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第 14 章 全等三角形
A.8 B.10 C.11 D.12
答案：D
解析：
连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ ，交 的延长线于点 。
∵ ， 分别平分 ∠ 、∠ 的外角， ⊥ ， ⊥ ， ⊥
∴ = = = 4
∵ △ = 7
1
∴ = 7
2
1
× × 4 = 7
2
7
解得： = 2
∵ △ = △ + △ △ = 10
1 1
∴ + 7 = 10
2 2
代入 = = 4 得：
17
2 + 2 = 17，即 + = 2
17 7
∴△ 的周长 = + + = + = 122 2
4、如图， 是 ∠ 的平分线， = ，点 P 在线段 上， ⊥ ， ⊥ ，
垂足分别是 M，N。求证： = 。
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第 14 章 全等三角形
答案：
证明：∵ 是 ∠ 的平分线
∴ ∠ = ∠
=
在 △ 和 △ 中： ∠ = ∠
=
∴△ △ (SAS)
∴ ∠ = ∠
∴ 平分∠
∵ ⊥ ， ⊥
∴ =
5、已知 ∠ ， 平分 ∠ ，定点 C 在射线 上，∠ 与射线 交
于点 B，与直线 交于点 D，且 ∠ + ∠ = 180 。
(1)如图 1，当点 D 在射线 上，且 ⊥ 时，判断 与 之间的数
量关系，并说明理由。
(2)如图 2，当点 D 在射线 上，且 与 不垂直时，(1)中的结论是否
仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
(3)如图 3，当点 D 在射线 的反向延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由。
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第 14 章 全等三角形
答案：
(1) = ，理由如下：
在四边形 中，∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 360
∵ ∠ + ∠ = 180 ，且 ∠ = ∠
∴ ∠ + ∠ = 180
∵ ⊥
∴ ∠ = 90
∴ ∠ = 90 ，即 ⊥
∵ 平分 ∠ ， ⊥ ， ⊥
∴ =
(2) 结论仍然成立，证明如下：
如图 1，过点 分别作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
∴ ∠ = ∠ = 90
∵ 平分 ∠
∴ =
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第 14 章 全等三角形
由四边形内角和可得：∠ + ∠ = 180
∵ ∠ + ∠ = 180
∴ ∠ = ∠
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠
即 ∠ = ∠
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： =
∠ = ∠
∴△ △ (ASA)
∴ =
(3) 结论仍然成立，证明如下：
如图 2，过点 分别作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，∴ ∠ = ∠ = 90 ，
∵ 平分 ∠ ，∴ = ，
由四边形内角和可得：∠ + ∠ = 180
∵ ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ = ∠
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠
即 ∠ = ∠
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中： = ，∴△ △ (ASA)，∴ =
∠ = ∠
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