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专题强化十四　电场中的图像问题及功能关系
学习目标
1.会利用图像分析静电力的性质和能的性质。
2.会通过“数形结合思想”分析电场的性质。
3.理解图像斜率、面积等表示的物理意义并能解决相关问题。
4.知道电场中常见的功能关系，会通过功能关系解决相关问题。
考点一　电场中的图像问题
考向　电场中的v-t图像
1.由v-t图像中图线的斜率变化分析带电粒子的加速度a的大小变化。
2.根据牛顿第二定律a==，判断静电力F和电场强度E的大小变化。
3.根据v-t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子的电性分析电场强度的方向。
4.由电场强度的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面的分布及电势的变化等。
例1 如图甲所示，两个点电荷Q1、Q2固定在x轴上距离为L的两点，其中Q1带正电位于原点O，a、b是它们连线延长线上的两点，其中b点与O点相距3L。现有一带正电的粒子以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动(粒子只受静电力作用)，设粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb，其速度随坐标x变化的图像如图乙所示，则以下判断正确的是(　　)
A.Q2带负电且电荷量小于Q1
B.b点的电场强度比a点的电场强度大
C.a点的电势比b点的电势高
D.粒子在a点的电势能大于在b点的电势能
答案　A
解析　由题图乙分析可知，带正电的粒子在b点前做减速运动，b点后做加速运动，可见b点的加速度为0，则粒子在b点受到两点电荷的静电力平衡，可知b点的合电场强度为零，Q2带负电，且有=，所以Q1>Q2，故A正确，B错误;该带电粒子从a点到b点，做减速运动，静电力做负功，所以电势能增大，且该粒子带正电，根据Ep=qφ知，电势升高，所以b点电势较高，电势能较大，故C、D错误。
考向　电场中的φ-x图像
1.电场强度的大小等于φ-x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场;如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。
2.在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向(如图)。
3.电场中常见的φ-x图像
(1)点电荷的φ-x图像(取无限远处电势为零)，如图。
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ-x图像，如图。
(3)两个等量同种点电荷的φ-x图像，如图。
例2 (2025·重庆多校联考，6)沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，某点电势φ随位置x变化的图像如图所示。一电荷量为e带负电的试探电荷，经过x2点时动能为1.5 eV，速度沿x轴正方向，若该电荷仅受静电力。则其将(　　)
A.不能通过x3点 B.在x3点两侧往复运动
C.能通过x0点 D.在x1点两侧往复运动
答案　B
解析　由φ-x图像的斜率绝对值表示电场强度的大小可知，x3点的电场强度为零，则试探电荷在x3点所受静电力为零。带负电的试探电荷在x2点时动能为1.5 eV，电势能为-1 eV，则试探电荷的总能量为0.5 eV，且试探电荷速度沿x轴正方向，在x2 ~ x3区域试探电荷受到沿x轴正方向的静电力，做加速运动，在x3处速度最大，越过x3后试探电荷受沿x轴负方向的静电力，做减速运动，当速度为零时，电势能为0.5 eV，即运动到电势为-0.5 V处减速到零，开始向x轴负方向运动，后反向回到x2处动能仍为1.5 eV，继续向左运动，在电势为-0.5 V处减速到零又反向，不会运动到x0、x1处，即试探电荷在x3点两侧往复运动，故B正确。
1.(2025·江苏苏州模拟)图甲为正点电荷Q的电场中，某点的电势φ与该点到点电荷Q的距离r的关系图像。如图乙所示，在正点电荷Q的上方水平固定一光滑绝缘杆，O点在点电荷Q的正上方，现将一质量为m、带电荷量为-q的小球穿在杆上，然后从a点由静止释放后，小球沿杆依次经过O、b两点到达最远点c。已知a、O、b三点到点电荷Q的距离分别为3L、L、2L，下列说法正确的是(　　)
A.由φ-r图像的斜率逐渐减小可知a到c的电场强度逐渐减小
B.由题设条件可以求出小球运动过程中的最大速度
C.电场中a点的电场强度和c点的电场强度相同
D.小球由a点运动到b点的过程中电势能一直增大
答案　B
解析　小球释放后先做加速运动，后做减速运动，在经过O点时速度最大，由图甲可知UaO=2φ0-6φ0，由动能定理得-qUaO=mv2-0，可得最大速度v=2，B正确;小球最远可到达c点，c点与a点的电势相等，故c点到点电荷Q的距离应为3L，由点电荷电场强度E=k可知，a、c两点的电场强度大小相等，但方向不同，C错误;a、O、b、c点到点电荷Q的距离分别为3L、L、2L、3L，由点电荷电场强度E=k可知，a到c的电场强度先增大后减小，选项A错误;小球由a点到O点的过程中，静电力做正功，电势能减小，由O点到b点的过程中，静电力做负功，电势能增大，D错误。
考向　电场中的E-x图像
1.E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律，E>0表示电场强度沿规定的正方向;E<0表示电场强度沿规定的负方向。
2.在给定了电场的E-x图像后，可以由图线确定电场强度、电势的变化情况，E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
例3 (2026·江苏南京多校联考)真空中，点电荷a、b分别位于x轴上的x=-L处的P点和x=L处的Q点，它们之间连线上电场强度E随位置x变化的图像如图所示。一带正电的粒子由x=-0.5L处的M点静止释放，能通过x=0.5L处的N点。粒子仅受静电力，O为坐标原点，以下判断正确的是(　　)
A.a、b均带正电
B.a电荷量小于b电荷量
C.x轴上从P至Q电势先降低再升高
D.M、O间的电势差大于O、N间的电势差
答案　D
解析　由题图可知，从P到Q电场强度方向不变，带正电的粒子从M点由静止释放后能通过N点，说明a带正电、b带负电，故A错误;a带正电、b带负电，合电场强度最小时，a、b在该点产生的合电场强度的方向向右，即Ea>Eb，设合电场强度最小时横坐标为x，则有Ea=k，Eb=k，可知Qa>Qb，故B错误;从P到Q电场强度方向始终沿x轴正方向，可知x轴上从P至Q电势逐渐降低，故C错误;M、O间的平均电场强度大于O、N间的平均电场强度，M、O间距离和O、N间距离相等，根据E=，可知M、O间的电势差大于O、N间的电势差，故D正确。
2.(2025·江苏苏州月考)真空中相距为3a的两个点电荷M、N，分别固定于x轴上x1=0和x2=3a的两点上，在它们连线上各点电场强度E随x变化关系如图所示，以下判断正确的是(　　)
A.x=2a处的电场强度为零，电势也一定为零
B.点电荷M、N一定为同种电荷
C.点电荷M、N一定为异种电荷
D.点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为3∶1
答案　B
解析　x=2a处的电场强度为零，但由于电势与电场强度无关，则电场强度为零的地方电势不一定为零，故A错误;x从0到3a，电场强度先沿正方向减少到零后反方向增加，必为同种电荷，故B正确，C错误;x=2a处的合电场强度为0，由E=k得k=k，可得QM∶QN=4∶1，故D错误。
考向　电场中的Ep-x图像、Ek-x图像
1.Ep-x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x=Ep1-Ep2=-ΔEp知Ep-x图像的切线斜率k==-F电，其绝对值等于静电力大小，正负表示静电力的方向。
2.Ek-x图像
当带电体只有静电力做功时由动能定理F电x=Ek-Ek0=ΔEk知Ek-x图像的切线斜率k==F电，其斜率的大小表示静电力的大小，正负表示静电力的方向。
例4 (2025·江苏宿迁二模)O、A、B为一条电场线上的三点，一电子仅在静电力作用下由O点经A点向B点运动，以O点为零电势点，该电子运动过程中电势能Ep随移动距离x的变化规律如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A.该电场可能是孤立点电荷形成的电场
B.A点的电场强度等于B点的电场强度
C.电子在A点的动能小于在B点的动能
D.电子由A点运动到B点的过程中静电力对其所做的功W=EpB-EpA
答案　B
解析　由题图可知，从O点到B点，电子的电势能随移动距离均匀增加，则电势随移动距离也均匀增加，该电场一定为匀强电场，不可能为孤立点电荷形成的电场，A、B两点的电场强度相等，选项A错误，B正确;电子在A、B两点的电势能分别为EpA和EpB，且EpA考点二　电场中的功能关系
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者之和保持不变，即ΔEk=-ΔEp。
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。
例5 (2024·江苏无锡期中)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平，a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零。则小球a(　　)
A.从N到P的过程中，速率一直增大
B.从N到Q的过程中，电势能一直增加
C.从N到Q的过程中，机械能一直增大
D.从N到Q的过程中，库仑力先增大后减小
答案　B
解析　从N到P的过程中，在其中间某个位置存在一个三力平衡的位置，此位置的加速度为零，速度最大，则从N到P的过程中，a球速率必先增大后减小，选项A错误;在a球从N到Q的过程中，a、b两小球距离逐渐变小，库仑斥力一直做负功，故a球电势能一直增加，除了重力之外的其他力做负功，则机械能一直减小，B正确，C错误;从N到Q的过程中，a、b两小球距离逐渐变小，根据库仑定律F=k可知库仑力一直增大，故D错误。
3.(2024·江苏扬州中学期中)水平地面上方有水平向右、范围足够大的匀强电场，从地面上的A点竖直向上抛出一个带电小球，其运动轨迹如图所示，B点为轨迹的最高点，空气阻力可忽略。则小球在从A到B过程中(　　)
A.电势能增加
B.机械能先增加后减少
C.速度先减少后增加
D.相同时间内速度变化量不同
答案　C
解析　由运动轨迹可知，小球带正电，小球在从A到B过程中静电力做正功，电势能减少，机械能增加，故A、B错误;运动过程中小球所受合力与速度的夹角先是钝角后变为锐角，故合力先做负功后做正功，小球动能先减少后增加，故C正确;小球的合力固定不变，则加速度固定不变，则相同时间内小球的速度变化量相同，故D错误。
A级 基础对点练
对点练1　电场中的图像问题
1.一带正电粒子仅在静电力作用下从A点由静止开始做直线运动，其v-t图像为正弦曲线，如图所示。已知粒子在t1时刻运动到B点，t2时刻运动到C点，t3时刻运动到D点，t4时刻运动到E点，下列判断正确的是(　　)
A.A、E两点不重合
B.C、D两点电场强度大小关系为ECC.A、C、E三点的电势相等
D.粒子从A点经B点运动到C点，电势能先增加后减少
答案　C
解析　由对称性可知，A、E两点重合，B、D两点重合，故A错误;由qE=ma可知，粒子加速度大时电场强度大，又速度—时间图像的斜率表示加速度，即t2时刻加速度大于t3时刻加速度，所以EC>ED，故B错误;粒子电势能与动能之和守恒，A、C、E三点动能均为0，所以电势能相等，由φ=可知φA=φC=φE，故C正确;由题图可知，粒子由A到B速度增大，动能增大，电势能减小，由B到C速度减小，动能减小，电势能增加，故由A点经B点到C点电势能先减小后增大，故D错误。
2.如图所示为某静电场中x轴上各点电势φ的分布图，一个带电粒子从坐标原点O处静止释放，仅在静电力作用下从坐标原点O沿x轴正方向运动，则(　　)
A.粒子一定带负电
B.粒子在x1与x3两点的加速度相等
C.粒子从x1运动到x3，电势能先减小后增大
D.粒子释放后将在x轴正方向某一范围内做往复运动
答案　C
解析　由题图可知，从x1到x2电势逐渐降低，说明电场方向沿x轴正方向，粒子从静止开始沿x轴正方向运动，受力与电场强度方向相同，故带正电，故A错误;由φ-x图像的斜率大小等于电场强度的大小可知，在x1与x3处，切线斜率不同，则电场强度不相等，故加速度不相等，故B错误;从x1到x3电势先降低后升高，且粒子带正电，则粒子的电势能先减小后增大，故C正确;从原点到x轴正方向任意一点电势差均大于零，静电力对粒子做正功，速度一直沿x轴正方向，故D错误。
3.平行金属板A、B带等量异种电荷，以过两板中心O点(原点)的某轴线为x轴、由A指向B的方向为电场强度的正方向，作出电场强度大小随坐标变化的图像如图所示，其中aO=Ob=l。下列说法正确的是(　　)
A.A板带正电
B.沿x轴正方向电势降低
C.电势差UbO=UOa=E0l
D.将电子沿x轴由a点移动到b点，电子的电势能不变
答案　D
解析　a、b间电场强度大小为E0且保持不变，则其为匀强电场，外侧电场强度快速趋近于零，且都为负值，因此x轴为平行于两板的中心轴线，电场强度为负表示电场强度方向由B指向A，则A板带负电，选项A错误;由于两板间的x轴为一等势线，电势不变，b、O与O、a之间的电势差均为零，所以将电子由a点沿x轴移动到b点，静电力不做功，电势能不变，选项B、C错误，D正确。
4.一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O~x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2~x3段是直线。下列说法正确的是(　　)
A.x1处电场强度最小，但不为零
B.粒子在O~x2段做匀变速运动，x2~x3段做匀速直线运动
C.x2~x3段的电场强度大小方向均不变
D.在O、x1、x2、x3处的电势φO、φ1、φ2、φ3的关系为φ3>φ2=φO>φ1
答案　C
解析　根据静电力做功与电势能变化的关系得FΔx=-ΔEp，图像的斜率的绝对值表示粒子所受的静电力的大小，在x1处图像的斜率为零，所以粒子在x1处受到的静电力为零，x1处的电场强度为零，A错误;图像的斜率的绝对值表示粒子所受的静电力的大小，粒子在O~x2段所受的静电力是变力，做非匀变速运动，x2~x3段静电力不变，做匀减速直线运动，B错误;x2~x3段是直线，斜率一定，粒子所受的静电力不变，所以x2~x3段的电场强度大小方向均不变，C正确;对带负电的粒子来说，电势越高电势能越小，电势越低电势能越大，由题图可知在O、x1、x2、x3四处的电势能大小关系为Ep1φO=φ2>φ3，D错误。
5.(2026·江苏南通期末)如图所示，均匀带正电荷的圆环水平放置，x轴为圆环的中轴线，圆心O为坐标原点，A、B为坐标轴上关于O点对称的两点。一带负电小球从A点由静止释放，不计空气阻力，则小球从A运动到B的过程中动能Ek、机械能E随x变化的图像可能正确的是(　　)
答案　D
解析　小球从A运动到O的过程中，重力和静电力都做正功，动能增加;小球从O运动到B的过程中，重力做正功，静电力做负功。根据对称性可知，小球从A运动到O的过程与从O运动到B的过程中，静电力做功大小相等，所以小球从A运动到B的过程中，静电力做功之和为零，而重力始终做正功，则根据动能定理可知，小球在B位置时动能不为零，故A、B错误;根据功能关系可知，静电力做功等于小球机械能的变化量，小球从A运动到O的过程中，静电力做正功，机械能增加;小球从O运动到B的过程中，静电力做负功，机械能减少。又因小球从A运动到O的过程与从O运动到B的过程中静电力做功大小相等，所以小球从A运动到B的过程中，小球增加的机械能等于减少的机械能，故C错误，D正确。
对点练2　电场中的功能关系
6.(2025·江苏扬州邗江区质检)如图所示，用绝缘细线拴一个带负电的小球，让它在竖直向下的匀强电场中绕O点做竖直平面内的圆周运动，a、b两点分别是圆周的最高点和最低点，则(　　)
A.小球经过a点时，线中的张力一定最小
B.小球经过a点时，电势能一定最大
C.小球经过b点时，电势能一定最小
D.小球经过b点时，机械能一定最小
答案　D
解析　带负电的小球受向上的静电力、向下的重力，若静电力大于重力，则两个力的合力向上，故小球经过a点时速度最大，此时线中的张力最大，故A错误;沿着电场线方向电势逐渐降低，则b点的电势最低，负电荷在b点的电势能最大，故B、C错误;因小球运动过程中只有静电力和重力做功，则电势能与机械能之和守恒，小球经过b点时电势能最大，则其在b点时的机械能最小，故D正确。
B级　综合提升练
7.(2025·江苏扬州开学考试)沿x轴方向存在一静电场，其φ-x图像如图所示。一电子以一定的初速度沿x轴从O点运动到x4，电子仅受静电力，则该电子(　　)
A.在x1处电势能最大
B.从x1到x2静电力做正功
C.x3处的电场沿x轴负方向
D.从x2到x4所受静电力一直减小
答案　D
解析　由公式Ep=qφ可知负点电荷在电势越高的地方电势能越小，所以该电子在x1处的电势能最小，故A错误;从x1到x2电势降低，则电子的电势能增加，静电力做负功，故B错误;沿电场线方向电势逐渐降低，所以x3处的电场沿x轴正方向，故C错误;φ-x图像中斜率的绝对值表示电场强度的大小，可知电子从x2到x4所受静电力一直减小，故D正确。
8.(2025江苏南通海门区期中)一带电粒子仅在静电力作用下沿x轴做直线运动，其动能Ek随位置x变化的关系如图所示，则其电势能Ep、加速度大小a、电场的电场强度大小E、电势φ分别与位置x的关系图像，正确的是(　　)
答案　C
解析　根据功能关系有ΔEk=qEx，则Ek-x图像的斜率k==qE，图像的斜率逐渐增大，则E逐渐增大，根据功能关系有ΔEp=-qEx，则Ep-x图像的斜率k'==-qE，可知Ep-x图像斜率为负，E逐渐增大，斜率绝对值应逐渐增大，根据牛顿第二定律a=，可知E逐渐增大，加速度a逐渐增大，故A、B错误，C正确;根据电场强度与电势差关系式有φ=φ0-Ex，则φ-x图像的斜率k″=-E，E逐渐增大，φ-x图像斜率为负且绝对值应逐渐增大，故D错误。
9.(2026·江苏南京外国语学校模拟)如图所示，水平放置的轻质绝缘弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接一放置在光滑绝缘水平面上的带正电小球，水平面上方存在水平向右的匀强电场。初始时弹簧处于压缩状态，将小球由静止释放，小球运动过程中弹簧始终在弹性限度内，则在小球向右运动的过程中(　　)
A.弹簧恢复原长时，小球的速度最大
B.弹簧恢复原长时，小球的加速度为零
C.小球运动到最右端过程，弹簧的弹性势能变化量为零
D.小球运动到最右端时，弹簧的弹性势能比初始时的大
答案　D
解析　当小球受到的静电力和弹簧弹力平衡时加速度为零，此时小球速度最大，弹簧处于伸长状态，故A、B错误;在小球向右运动到最右端的过程中，静电力做正功，根据功能关系可知，小球和弹簧组成的系统机械能增加，则小球运动到最右端时，弹簧的弹性势能比初始时的大，故C错误，D正确。
10.(2026·连云港高级中学月考)如图所示，均匀带正电的薄球壳上有一小孔A，带正电的试探电荷(不计重力)从球心O以足够大的初速度沿OA方向射出。取无穷远处的电势为0，则关于试探电荷受到的静电力大小F、电势能Ep与离开球心的距离r的关系图像可能正确的是(　　)
答案　C
解析　由于球壳内的电场强度处处为零，试探电荷在球壳内不受静电力，则试探电荷的电势能保持不变。球壳外的电场强度随离球心距离r的增大而减小，带正电的试探电荷受到的静电力方向与速度方向相同，静电力做正功，试探电荷的电势能随r的增大而减小，且减小的越来越慢，故C正确。
11.(2026·河北石家庄多校联考，13)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0。已知小球的电荷量为q(q>0)，质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求:
(1)电场强度E的大小;
(2)小球在A、B两点的速度大小。
答案　(1)　(2)　
解析　(1)在匀强电场中，由公式E=可得E=。
(2)在A点细线对小球的拉力为0，由牛顿第二定律得qE-mg=m
从A点到B点，由动能定理得
qU-mgL=m-m
联立解得vA=，vB=。
12.(2026·江西萍乡期末)如图所示，光滑绝缘细杆沿竖直方向固定，其底端O固定一带正电的点电荷。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的小球，中心开孔套在杆上，孔径比杆的直径略大，小球恰能静止在距O点为h的A点。现将小球移至距O点为h的B点由静止释放，小球运动至A点时速度大小为v。已知重力加速度为g，静电力常量为k，求:
(1)求O点处点电荷在A处的电场强度大小和方向;
(2)求小球在B点释放时的加速度大小a;
(3)若以B点为零电势点，求A点的电势大小。
答案　(1)　竖直向上　(2)g (3)
解析　(1)小球最开始静止在A点，由平衡条件有mg=qEA
解得A处的电场强度大小EA=
方向竖直向上。
(2)在A点对小球由平衡条件有mg=k
小球在B点由静止释放时，由牛顿第二定律有
mg-k=ma
解得a=g。
(3)小球由B运动到A的过程中，由动能定理有
mgh-qUBA=mv2
解得UBA=
又UBA=φB-φA，φB=0
解得φA=。

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