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第 6 章 几何图形初步
6.4 点、线、面、体
1、如图所示的是乾隆松石绿粉彩朵花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花
瓶形状的是( )
2、一只蚂蚁从如图所示的正方体的一顶点 A 沿着棱爬向 B，只能经过三条棱，共有多少种
走法( )
A.8种 B.7种 C.6种 D.5种
3、如图，长方形 中， = 4， = 3，以 所在直线为轴，将长方形旋转一周后得一
个几何体，从前面看该几何体得到的平面图形的面积是_______________。
4、一个长方形的长和宽分别为 5，4，绕它的一边所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积
为________________________（结果保留 ）。
5、小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了甲、
乙两个立体图形。
小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等。
小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等。
(1) 你同意_______ 的说法。
(2) 甲、乙两个立体图形的体积比是多少？
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第 6 章 几何图形初步
6、欧拉发现多面体的顶点数 、棱数 、面数 之间存在数量关系，即欧拉公式。
(1) 观察下列多面体，并把下表补充完整：
三棱锥 三棱柱 正八面体
正方体
名称
顶点数 4 6 8
棱数 6 12
面数 4 5 8
(2) 写出 、 、 的关系式。
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6.4 点、线、面、体
1、如图所示的是乾隆松石绿粉彩朵花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花
瓶形状的是( )
答案：
2、一只蚂蚁从如图所示的正方体的一顶点 A 沿着棱爬向 B，只能经过三条棱，共有多少种
走法( )
A.8种 B.7种 C.6种 D.5种
答案：
解析：走法有① → → → ；② → → → ；③ → → → ；④ → → → ；⑤ → → → ；
⑥ → → → ，共有 6种走法。故选 。
3、如图，长方形 中， = 4， = 3，以 所在直线为轴，将长方形旋转一周后得一
个几何体，从前面看该几何体得到的平面图形的面积是_______________。
答案：
解析：由题图可知旋转所得几何体为圆柱，从前面看该几何体所得的平面图形为长方形，且该
长方形的长为 2 = 6，宽为 = 4，
所以所求平面图形的面积为 24。
4、一个长方形的长和宽分别为 5，4，绕它的一边所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积
为________________________（结果保留 ）。
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第 6 章 几何图形初步
答案： 或
解析：①以长为 5的边所在直线为轴旋转：底面半径 = 4，高 h = 5
②以长为 4的边所在直线为轴旋转：底面半径 = 5，高 h = 4
综上，几何体的体积为 80 或 100 。
5、小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了甲、
乙两个立体图形。
小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等。
小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等。
(1) 你同意_______ 的说法。
(2) 甲、乙两个立体图形的体积比是多少？
答案：(1) 同意小红的说法。
解题理由：
1
甲立体图形体积计算：V甲 = π× 3
2 × 6 π × 32 × (6 3) = 45π(cm33 )
1
乙立体图形体积计算：V = π × 32乙 × 3+ π × 3
2
3 × (6 3) = 36π(
cm3)
所以甲、乙两个立体图形的体积不相等。
(2) 求甲、乙两个立体图形的体积比：V甲: V乙 = 45π: 36π = 5: 4
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第 6 章 几何图形初步
6、欧拉发现多面体的顶点数 、棱数 、面数 之间存在数量关系，即欧拉公式。
(1) 观察下列多面体，并把下表补充完整：
三棱锥 三棱柱 正八面体
正方体
名称
顶点数 4 6 8
棱数 6 12
面数 4 5 8
(2) 写出 、 、 的关系式。
答案(1) ：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
顶点数 V 4 6 8 6
棱数 E 6 9 12 12
面数 F 4 5 6 8
(2) 关系式答案：V + F E = 2
解析：
代入验证：4 + 4 6 = 2，6 + 5 9 = 2，8 + 6 12 = 2，6 + 8 12 = 2，
可得关系式：V + F E = 2。
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