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第 6 章 几何图形初步
6.6 线段的比较与运算
1、【学科特色 方程思想】如图，点 B 和点 C 把线段 分成 2 ∶ 3 ∶ 4的三部分
( : : = 2 ∶ 3 ∶ 4)，点 M 是线段 的中点， = 12，那么线段 的长是________。
答案：1.5
解：设 = 2 ，
∵ : : = 2: 3: 4
∴ = 3 , = 4
∴ = (2 + 3 + 4) = 9
∵ = 12
∴ 4 = 12，解得 = 3
∴ = 9 = 27
∵ 点 是线段 的中点
1 1
∴ = = × 27 = 13.5
2 2
∴ = = 13.5 12 = 1.5
2、如图所示，点 在线段 上，且 = 3 ， 是线段 的中点， 是线段 上
的一点，且 : = 2: 1，有下列结论：
1 1 6
① = 3 ；② = 5 ；③
=
2 ( + )；④
=
5 ( )，
其中正确的结论为_________________(填正确结论的序号)。
答案：①②④
解：设 = ，
∵ = 3 ，∴ = 3 ，
1 2
∵ : = 2: 1，∴ = = ， = = 2 3 3 ，
∴ = + = + 2 = 3 。
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第 6 章 几何图形初步
1 1 1
① = ， = × 3 = ，∴ = 3 3 3 ，①正确；
1 1
∵ 是 中点，∴ = = = 2 2 ，
1 5 1 5
② = = 3 = ，5 = 5 × = ，∴ = 5 2 2 2 2 ，②正确；
1
③ + = 3 + 3 = 6 ， ( + ) = 3 ， = 2 ，2 ≠ 3 2 ，③错误；
1 5 6 6 5 6
④ = 3 = 2 ， ( ) = × 2 = 3 ， = 3 ，∴ = ( )2 5 5 5 ，
④正确。
综上，正确结论为①②④。
1
3、 , , 都是线段 上的点， = = 10 = 6 3 ， ， 是线段
的中点，若点 是
线段 的中点，求线段 , 的长。
答案： = 12， = 8
1
解：∵ = = 103
∴ = 3 × 10 = 30
∵ = 6
∴ = = 30 6 = 24
∵ 是线段 的中点
1 1
∴ = = × 24 = 12
2 2
∵ = 10
∴ = = 12 10 = 2
∵ = = 30 10 = 20， 是 中点
1 1
∴ = = × 20 = 10
2 2
∴ = = 10 2 = 8
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第 6 章 几何图形初步
4、线段 = 4，点 是线段 上一点， , 分别是线段 ， 的中点。
(1) 小明很轻松地求得 = 2，小明是怎样求出来的？
(2) 若点 运动到线段 的延长线上，其他条件不变，(1) 中的结论 “ = 2” 是否仍然
成立？请画出图形并说明理由。
答案：(1) 过程见解析；(2) 结论仍然成立，理由见解析
解：(1)∵ , 分别是线段 , 的中点
1 1
∴ = , =
2 2
1
∴ = + = ( + )
2
∵ + = ， = 4
1 1
∴ = = × 4 = 2
2 2 。
(2) 结论仍然成立。
画图：
点 , 依次在直线上， 在 右侧延长线上， 为 中点， 为 中点。
理由：
∵ , 分别是线段 , 的中点
1 1
∴ = , =
2 2
1
∴ = = ( )
2
∵ = ， = 4
1 1
∴ = = × 4 = 2
2 2 。
5、已知点 在线段 的延长线上，且线段 = 2025。第一次操作：分别取线段 和
的中点 1, 1；第二次操作：分别取线段 1 和 1 的中点 2, 2；第三次操作：
分别取线段 2 和 2 的中点 3, 3，……，连续这样操作 2024次，
则 2024 2024 = ____________。
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第 6 章 几何图形初步
2025
答案：
22024
1 1
解：∵ 1, 1 分别是 , 的中点，∴ 1 = , = 2 1 2
1 1 1 1 2025
∴ 1 1 = 1 1 = = ( ) = =2 2 2 2 2
1 2025 1 2025
同理， 2, 2 为 1, 1 中点： 2 2 = 2 1
1 = 2 ， 3 3 = =2 2 2 2 3
，
2
2025
以此类推，可得规律： = 2
2025
当 = 2024时， 2024 2024 = 2024。2
6、有公共端点 的两条线段 , 组成一条折线 。若该折线 上一点 把这
条折线分成相等的两部分，我们把这个点 叫作这条折线的 “折中点”。已知点 是折线
的 “折中点”，点 为线段 的中点， = 3， = 7，则线段 的长为______。
答案：8或 20
解：
∵ 是 中点， = 7 ∴ = 2 = 14
分两种情况讨论：
情况 1：点 在线段 上， = = 14 3 = 11
∵ 是折线 折中点，∴ = + ，即 11 = 3 + ，解得 = 8。
情况 2：点 在线段 上
折线 ， = + = 14 + 3 = 17
∵ 是折中点，∴ = + = 17，∴ = + = 17 + 3 = 20。
综上， = 8或 20。
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6.6 线段的比较与运算
1、【学科特色 方程思想】如图，点 B 和点 C 把线段 分成 2 ∶ 3 ∶ 4的三部分
( : : = 2 ∶ 3 ∶ 4)，点 M 是线段 的中点， = 12，那么线段 的长是________。
2、如图所示，点 在线段 上，且 = 3 ， 是线段 的中点， 是线段 上
的一点，且 : = 2: 1，有下列结论：
1 1 6
① = 3 ；② = 5 ；③ = 2 ( + )；④ = 5 ( )，
其中正确的结论为_________________(填正确结论的序号)。
1
3、 , , 都是线段 上的点， = = 10， = 6， 是线段 的中点，若点 3 是
线段 的中点，求线段 , 的长。
4、线段 = 4，点 是线段 上一点， , 分别是线段 ， 的中点。
(1) 小明很轻松地求得 = 2，小明是怎样求出来的？
(2) 若点 运动到线段 的延长线上，其他条件不变，(1) 中的结论 “ = 2” 是否仍然
成立？请画出图形并说明理由。
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第 6 章 几何图形初步
5、已知点 在线段 的延长线上，且线段 = 2025。第一次操作：分别取线段 和
的中点 1, 1；第二次操作：分别取线段 1 和 1 的中点 2, 2；第三次操作：
分别取线段 2 和 2 的中点 3, 3，……，连续这样操作 2024次，
则 2024 2024 = ____________。
6、有公共端点 的两条线段 , 组成一条折线 。若该折线 上一点 把这
条折线分成相等的两部分，我们把这个点 叫作这条折线的 “折中点”。已知点 是折线
的 “折中点”，点 为线段 的中点， = 3， = 7，则线段 的长为______。
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